线性规划中的易错点简析 高卫忠 (1)

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1、线性规划问题的易错点简析乌鲁木齐市41中学高卫忠830091线性规划问题的基本内容是可行解、可行域、最优解、最优整数解等.学生常出现各式各样的错误，下面就几类典型的错解进行剖析.一可行域、最优解判断致误例1在约束条件下，如何求目标函数的最大值？首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图（1）所示．其次，将目标函数变形为的形式，它表示一条直线，斜率为，且在轴上的截距为．平移直线，当它经过两直线与的交点时，直线在轴上的截距最大，如图（2）所示．因此，当时，目标函数取得最大值，即当甲、乙两种产品分别生产和时，可获得最大利润万元．这类求线性目标函数在线性约束条件下的

2、最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．图1yAxbCObBb例2.已知，求z=x－2y的最大值.错解作出各直线，并求得交点A(3，－2)、B(，－)、C(1，0)，则可行域为△ABC的内部(含边界，如图1).平移直线x－2y=0过点C(1，0)时，z=x－2y取最大值1.图2xbACObBby　　正解：凭想象封闭图形即是可行域、最高点对应最大值均是常见的错误.事实上由7坐标(0，0)适合不等式组，易知

3、可行域为图2(含边界).由方程y＝x+(－z)，知z的最大值与纵截距－z的最小值相对应，故最优解为B(，－)，z=x－2y的最大值为.点评：严密完成图解法的五个基本步骤：定、画、移、求、答.二实际问题的最优整数解判断致误例3(湖北)某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元在满足需要的条件下，最少要花费元xbyAOblB图3错解：设购买35kg的x袋，24kg的y袋，共需化费z元，则x，y满足，且z=140x+120y.作出直线AB：35x+24y=106，其中A(3,0)，B(0,

4、4).易知可行域为如图3所示（含边界）的整点.考察直线l：y＝－x＋，∵－<－<0，即kAB

5、3代入z=140×1+120×3＝500；最后将x=0，y=5代入z=140×0+120×5＝600.∴比较得最优整数解为(1，3)，答案填500.点评：求最优整数解，不仅要求作图精确，而且要结合必要的计算，如求出各列（行）最低（左）点坐标代入目标函数进行比较，仅凭“目测”是不准确的.例4．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？分析：这是一个二元

6、线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：7资金（百万元）场地（平方米）利润（百万元）A产品223B产品312限制149然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解解：设生产A产品百吨，生产B产品米，利润为百万元，则约束条件为，目标函数为．作出可行域（如图），将目标函数变形为，它表示斜率为，在轴上截距为的直线，平移直线，当它经过直线与和的交点时，最大，也即最大．此时，．因此，生产A产品百吨，生产B产品米，利润最大为1475万元．说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及

7、计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解．对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．三、与直线的斜率有关的最值问题表示定点P（x0,y0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.例5　设实数满足，则的最大值是__________．解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC，表示两点确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．0ABC（图1）可以看出直线OP的斜率最大，故P为与的交点，即