隐函数存在定理在几何方面的应用北工大

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1、空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线第六节隐函数存在定理的几何应用一、空间曲线的切线与法平面1.设空间曲线C的参数方程为:它们在可导,且取定曲线上一点过曲线C上两点　　　的割线方程为或当沿曲线C时,即割线的极限位置就是曲线在点的切线.则切线方程为切线的方向向量称为曲线C在点的切向量。一个平面通过空间曲线C上的一点且与点　　的切线垂直，称此平面是空间曲线C在点　　的法平面。在法平面上任取一点,则与切向量垂直．即法平面方程法平面方程是或例1求螺旋线在　　处的切线方程与法平面方程．２．若空间曲线C是由函数方程组所确定．若方程组在曲线C上一定点　　　　的某邻域满足隐函数组

2、定理的条件，即对x,y,z的偏导数在点P的邻域内连续，不妨设且不同时为零，曲线C的参数方程为切向量利用　　分别对　求偏导，求出则在点　　某邻域，曲线C可表示为解得从而可得曲线在点的切线方程：法平面方程例2求曲线在点法平面方程：切线方程：解处的切线及法平面方程。它的在点的法线方程是1.设曲面S的方程是,的切平面方程是二、曲面的切平面与法线法向量则它的在点它在点可微,２．设曲面S的方程是　　　　　　在曲面S上任取一点.满足函数确定的隐函数的条件，曲面S可表为则曲面在点M的切平面方程是则曲面S在点M的法线方程是若　　　在点M例3求曲面上点的切平面的方程与法线方程.解切平面方

3、程与法线方程分别为与３设曲面S的方程是取定对应曲面上的点若函数组　　　满足11.1定理则在点的邻域存在连续偏导数的反函数组代入有曲面S在点M的法向量为３的推论，对u,v求偏导解方程组，得它的在点　　　　　　的切平面方程是法线方程是它在点例4求曲面在点　对应的曲面上点的切平面方程与法线方程．练习:1求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程.2.求椭球面在处的切平面方程与法线方程.练习的答案:1.切线方程法平面的方程2.切平面方程法线方程