阶线性微分方程解的结构(I)

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1、复习一阶微分方程：1.可分离变量的微分方程：形如分离变量、两边积分2.齐次微分方程:形如作变换3.一阶线性微分方程:形如公式可降阶的高阶微分方程1.型高阶方程的求解；2.型高阶方程的求解；3.型高阶方程的求解。一、二阶线性微分方程二、线性微分方程的解的结构§8.4二阶线性微分方程解的结构上页下页铃结束返回首页一、二阶线性微分方程举例二阶线性微分方程下页二阶线性微分方程的一般形式为yP(x)yQ(x)yf(x)若方程右端f(x)0时方程称为齐次的否则称为非齐次的二、线性微分方程的解的结构简要证明这是因为定理1(齐次方程的解的叠加原理)下页

2、如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解其中C1、C2是任意常数(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2)C1[y1P(x)y1Q(x)y1]C2[y2P(x)y2Q(x)y2]000(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2)说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通

3、解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.举例(1)函数1cos2xsin2x在整个数轴上是线性相关的这是因为1-cos2x-sin2x0举例(2)函数1xx2在任何区间(ab)内是线性无关的这是因为对任意k1k2k3k1+k2x+k2x2不可能恒为零二、线性微分方程的解的结构函数的线性相关与线性无关下页定理1(齐次方程的解的叠加原理)如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解其中C1、C2是任意常数设y1(x)y2(x)

4、yn(x)为定义在区间I上的n个函数如果存在n个不全为零的常数k1k2kn使得当xI时有恒等式k1y1(x)k2y2(x)knyn(x)0那么称这n个函数在区间I上线性相关否则称为线性无关对于两个函数如果它们的比恒为常数那么它们就线性相关否则就线性无关判别两个函数线性相关性的方法二、线性微分方程的解的结构下页函数的线性相关与线性无关定理1(齐次方程的解的叠加原理)如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解其中C1、

5、C2是任意常数设y1(x)y2(x)yn(x)为定义在区间I上的n个函数如果存在n个不全为零的常数k1k2kn使得当xI时有恒等式k1y1(x)k2y2(x)knyn(x)0那么称这n个函数在区间I上线性相关否则称为线性无关两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数机动目录上页下页返回结束举例已知cosx与sinx都是方程y+y=0的解因为比值cosx/sinx=cotx不恒为零所以cosx与sinx在()内是线性无关的因此cosx与s

6、inx是方程y+y=0的线性无关解方程的通解为y=C1cosxC2sinx举例已知y1=x与y2=ex都是方程(x-1)y-xy+y=0的解因为比值ex/x不恒为常数所以y1=x与y2=ex在()内是线性无关的因此y1=x与y2=ex是方程(x-1)y-xy+y=0的线性无关解方程的通解为y=C1xC2ex如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解其中C1、C2是任意常数定理2(齐次方程的通解的结构)下页如果函

7、数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解其中C1、C2是任意常数定理2(齐次方程的通解的结构)如果y1(x)y2(x)yn(x)是方程y(n)a1(x)y(n1)an1(x)yan(x)y0的n个线性无关的解那么此方程的通解为yC1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x)其中C1C2Cn为任意常数推论下页注我们把方程y+P(x)y+Q(x)y=0叫做与非齐次方程y+P(x)y+Q(

8、x)y=f(x)对应的齐次方程证明提示[Y(x)