阶线性微分方程解的结构(II)

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1、第七章微分方程第六节高阶线性微分方程二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的一般形式是其中丶及是自变量的已知函数,函数称为方程(1)的自由项.当时,方程(1)成为这个方程称为二阶齐次线性微分方程,相应地,方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程.二阶线性微分方程的概念方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程.本节所讨论的二阶线性微分方程的解的一些性质,还可以推广到阶线性微分方程二阶线性微分方程解的定理定理1如果函数与是方程(1)的两个解,则也是方程(1)的解,其中是任意常数.函数的线性相关与线性无关定义1设是

2、定义在区间内数.如果存在两个不全为零的常数使得在区间内恒有则称这两个函数在区间内线性相关.否则称线性无关.的两个函二阶线性微分方程解的定理定理2若与是方程(1)的两个线性无关的特解,则就是方程(1)的通解,其中是任意常数.二阶线性微分方程解的定理定理3设是方程(1)的一个特解,而是其对应的齐次方程(2)的通解,则就是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.二阶线性微分方程解的定理定理4设与分别是方程与的特解,则是方程的特解.二阶线性微分方程解的定理定理5设是方程的解,其中为实值函数,为纯虚数.则与分别是方

3、程与的解.例1已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：求此方程的通解;写出此微分方程;求此微分方程满足的特解.齐次线性微分方程的解法设是方程(1)的一个已知非零特解,作变量替换解线性微分方程的降阶法把它们代入(1)式,得再作变量替换得解线性微分方程的降阶法分离变量得两边积分得为任意常数).对积分,得为任意常数).代回原变量,就得到方程(1)的通解解线性微分方程的降阶法为任意常数).代回原变量,就得到方程(1)的通解这个公式称为二阶线性微分方程的刘维尔公式.例2已知是方程个解,试求方程的通解.的一常数

4、变易法设有二阶非齐次线性方程如果其对应的齐次方程的通解为设非齐次方程(1)的特解为其中是两个特定函数,对求导数,得常数变易法我们补充如下条件:得方程组常数变易法得方程组上述方程组有唯一解.解得常数变易法积分并取其一个原函数,得于是,所求特解为所求方程(1)的通解例3求方程的通解.