1.6-1.7曲面与曲线

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1、Chapter11.6-1.7曲面与曲线1.6-1.7曲面与曲线教学目的与要求：通过本节学习使学生理解空间曲面与曲线等概念，掌握球面方程，柱面方程，旋转曲面方程，曲线的一般式方程与参数式方程，空间曲线在坐标面上的投影。重点：空间曲面与曲线教学方式：以讲授法为主。1.6曲面及其方程１．球面２．柱面３．旋转曲面水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：1.6曲面及其方程定义5.1设空间曲面S及三元方程F(x,y,z)=0.如果S上任一点M(x,y,z).其坐标x,y,z都满足F(x,y,z)=

2、0,则称F(x,y,z)=0为S的方程.反之，F(x,y,z)=0的任一解(x,y,z)对应的空间点(x,y,z)在S上,,则称S为F(x,y,z)=0的图形.求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．以下给出几例常见的曲面.--

3、--------1.球面例1建立球心在M0(x0,y0,z0),半径为R的球面的方程.解：•M0ROxyzM根据图形知，球面上任一点M到球心的距离为R.即

4、M0M

5、=R.设M点坐标为(x,y,z)，则根据两点间距离计算公式或(5.1)反之,任取(x,y,z)满足(5.1).则M(x,y,z)到M0的距离为R.故(x,y,z)在球面上.因此(5.1)即为所求球面的方程.特殊地：球心在原点时方程为------------球面标准方程解根据题意有所求方程为例求表示的曲面，其中为常数。解通过配方，有当时，方程表示的曲面为以为球心，为半径的球面。当时，球

6、面退化为一点。当时，在空间中不存在坐标满足方程的点，这时常称方程所表示的“曲面”为虚球面。2、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,定义平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.观察柱面的形成过程:这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.母线准线柱面举例：抛物柱面平面抛物柱面方程：平面方程：从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面/

7、/轴双曲柱面//轴抛物柱面//轴只含而缺的方程，在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面，其准线为面上曲线.一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xoz面上的曲线l3.母线柱面,准线xoy面上的曲线l1.母线准线yoz面上的曲线l2.母线椭圆柱面xyzO双曲柱面定义3.一条平面曲线3、旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点给定yoz面上曲线C:则有则有该点转到思考：当曲线C绕y轴旋转

8、时，方程如何？机动目录上页下页返回结束例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例4.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转绕z轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？思考题解答平面解析几何中空间解析几何中斜率为1的直线方程1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱

9、面,双曲柱面,抛物柱面等.内容小结1.7空间曲线一、空间曲线的一般式方程二、空间曲线的参数式方程三、空间曲线在坐标面上的投影1.7空间曲线称为空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.一．空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：例如x2+y2=1x+y+z=2.表示圆柱面与平面的交线.yxz0ExamplexYZ又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.xyz0另外，和直线一样，我们也可用参数形式表示空间曲线.x=x(t),y=y(t),z=z(t).二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动

10、点坐标x,y,z表示成参数t的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距.例1.将下列曲线化为参数方程表示:解:(