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1、四、B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。Ｂ样条曲线的数学表达式为：在上式中，0≤u≤1；i=0,1,2,…,m所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。如果给定m+n+1个顶点Pi(i=0,1,2,…,m+n)，则可定义m+1段n次的参数曲线。在以上表达式中：Nk,n(u)为n次B样条基函数，也
2、称Ｂ样条分段混合函数。其表达式为：式中：0≤u≤1k=0,1,2,…,n1．均匀B样条曲线1一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点（i=0，1，…，n）定义n段一次（k＝0,1，n=1）均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段Pi（u），其定义表达为：＝（1－u）Pi－1＋uPi＝N0，1（u）Pi－1＋N1，1（u）Pi第i段曲线端点位置矢量：，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。2二次均匀B样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量（i=0，1，…，n）定义n－1段二次（k＝0,1,2，n=2）均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段Pi（u）（i
3、=1，…，n－1），其定义表达为：＝（1－2u＋u2）Pi－1＋（1＋2u－2u2）Pi＋u2Pi＋1＝N0，2（u）Pi－1＋N1，2（u）Pi＋N2，2（u）Pi＋1端点位置矢量：，，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形Pi-1Pi和PiPi+1的中点。若、、三个顶点位于同一条直线上，蜕化成直线边上的一段直线。端点一阶导数矢量：，，，，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。二阶导数矢量：，即曲线段内任何点处二阶导数相等，且相邻两曲线段在节点处二阶导数不连续。3三次均匀B样条曲线空间n+1个顶点的位置矢量（i=0
4、，1，。。。，n）构造n－2段三次（k＝0,1,2,3，四阶n=3）均匀B样条曲线段，每相邻四个点可定义一曲线段Pi（u）（i=1，。。。，n－2），其定义表达为：＝（1－u）3Pi－1＋（4－6u2＋3u3）Pi＋（1＋3u＋3u2－3u3）Pi＋1＋u3Pi＋2＝N0，3（u）Pi－1＋N1，3（u）Pi＋N2，3（u）Pi＋1＋N3，3（u）Pi＋2端点位置矢量：，，即起点位于三角形DPi-1PiPi+1中线PiM1的1/3处，终点位于三角形DPiPi＋1Pi+2中线Pi＋1M2的1/3处。可见B样条曲线的端点并不通过控制点。端点一阶导数矢量：，，即曲
5、线起点的切矢平行于DPi-1PiPi+1的底边Pi-1Pi+1，其模长为底边Pi-1Pi+1长的1/2，同样曲线终点的切矢平行于DPiPi+1Pi+2的底边PiPi+2，其模长也为底边PiPi+2长的1/2。且相邻两曲线段具有一阶导数连续（因）。二阶导数矢量：，，即曲线段在端点处的二阶导数矢量等于相邻两直线边所形成的平行四边形的对角线，且两曲线段在节点处具有二阶导数连续（因）。若、、三个顶点位于同一条直线上，三次均匀B样条曲线将产生拐点；若、、、四点共线，则变成一段直线；若、、三点重合，则过点。思考：用作图法绘制下图均匀三次B样条曲线。B样条曲线段与段之间具
6、有天然的连续性，具有整体的光滑特性，而Bezier曲线段与段之间必须光滑拼接。因此在商用系统中B样条方法应用更为广泛。2．B样条曲线的性质1局部性空间n+1个控制顶点（i=0，1，…，n）构造（n－k＋1）段k次（k＋1阶）B样条曲线段，且每一曲线段（u）（i=1，…，n－k＋1）由、、…、等k＋1个控制顶点确定，与其它控制点无关。2整体性和连续性一般情况下（即无重节点、重顶点），n+1个控制顶点所构造的（n－k＋1）段k次（k＋1阶）B样条曲线段组成一完整的B样条曲线，曲线段与段之间具有Ck－1阶函数连续性（或Gk－1阶几何连续性），当有K重顶点时，将可能
7、产生尖点（前面已介绍），虽然仍满足函数连续，但不满足几何连续。4几何不变性改变坐标系不改变曲线形状。5变差缩减性与Bezier曲线性质相同。（5）造型的灵活性由于其良好的局部特性，可以方便构造低次的复杂曲线，且编辑顶点对曲线形状的改变是局部的；由于其整体性和连续性，曲线具有整体的光滑性。正因如此，B样条曲线比Bezier应用更为广泛，为商用系统普遍采用。缺点：首末两端点不通过控制顶点，与其优点比较微不足道。3．均匀双二次B样条曲面已知曲面的控制点，参数，且，，构造步骤是：a、沿向构造均匀二次B样条曲线，即有：经转置后：同上可得：，。b、再沿向构造均匀二次B样
8、条曲线，即可得到均匀二次B样条曲面：简记为：。4．均
