B样条曲线曲面B样条曲线曲面

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1、第十章B样条曲线曲面Coons曲面有理样条曲线曲面第十章B样条曲线曲面、Coons曲面和有理样条曲线曲面10.1B样条曲线曲面Bézier曲线的缺点Bézier曲线是一段n次多项式曲线，它具有许多优点，如凸包性、保型性等，但也存在缺点：1.缺少局部性，修改某一个控制顶点将影响整条曲线；2.曲线与控制多边形的逼近程度较差,次数越高，逼近程度越差；3.当表示复杂形状时，无论采用高次曲线还是多段低次曲线拼接起来的曲线，都相当复杂。要克服Bézier曲线的缺点，需要对它进行推广。nP()t=∑PiJin,(

2、)t，0≤t≤1i=0分段多项式曲线Bézier曲线的自然推广是分段多项式曲线，其特点是每个基函数有影响的区域是有限的。早在20世纪40年代人们就发现了多项式样条曲线，但直到60年代末，由于CAD技术的发展和计算机图形学的兴起，人们才逐步了解到它的重要性，并得到深入的研究和广泛的应用。10.1.1B样条基函数的定义和性质给定参数t轴上的一个分割ti(ti≤ti+1，i=0，±1，±2…)。由下列递推关系所定义的Bi，k(t)称为TTT的T的的k的kkk阶阶(阶(((或或或k或kkk----1111次

3、次次）次））B）BBB样条基函数样条基函数。并约定0/0＝0。1,t£

4、i+1B1,i)t(=0其他titi+1ti+2ti+3ti+41Bi,2(t)Bi+1,2(t)B（t）=t-tiB(t)+ti+2-tB(t)i，2i1,i+1,1t-tt-ti+1ii+2i+1titi+1ti+2ti+3ti+4Bi,3(t)Bi+1,3(t)t-tt-tB（t）=iB(t)+i+3B(t)i，3i2,i+2,1t-tt-ttiti+1ti+2ti+3ti+4i+2ii+3i+1Bi,4(t)tt-t-tiin+B()t=B()t+B()tin,in,-1i+1,n-1t

5、iti+1ti+2ti+3ti+4tin+-1-titin+-ti+1B样条基函数示意图B样条基函数的性质(1)局部性>0,t<1)。ttj+qtttj+q-1j-kj+1-kj+¥(2)权性∑Bik,()1,tºi=-¥证用归纳法。当k=1时，显然成立.假设k=-n1时成立,现证明k=n时也成立。即+¥+¥tt-t-tiin+∑Bin,()t=∑Bin,-1(

6、)t+Bi+1,n-1()ti=-¥i=-¥tin+-1-titin+-ti+1上式右端第i项的第二项和第i+1项的第一项合并得+¥+¥∑Bin,()t=∑Bin,-1()1tºi=-¥i=-¥由Bik,()t的局部性知，如果取tj<0，则jq+-1∑Bik,()1tºijk=-+1根据Bik,()t≥0及上式,可把Bik,()t看作是计算平均值的权.(3)分段多项式Bik,()t在其值不为零的区间(ti,ti+k)上是次数不高于k-1次的多项式，在值为零的区间上是零次多项式

7、，从而它在整个参数轴上是次数不高于k-1次的分段多项式。(4)连续性节点的重数每增加一次，Bik,()t的连续阶就减少一次,因此,Bik,()t在l重节点处的连续阶不低于k--1l阶。(5)求导公式B()tB()tik,-1i+1,k-1B¢()t=(k-1)-ik,t-tt-tik+-1iik+i+110.1.2B样条曲线的定义和性质PP21B样条曲线及其控制多边形PPn0设PPP012⋯Pn为给定的n+1个空间点，称下列参数曲线nP()t=∑PiBik,(),ttk-1££ttn+1

8、i=0为k阶(或k-1次)B样条曲线,点集{,PPP01,2,⋯,Pn}称为P()t的控制顶点，折线PPP0,1,2,⋯,Pn为P()t的控制多边形。(1)局部调整性基函数B()t只在区间(,ttiik+)上不为零，ik,所以曲线Pt()在区间(,ttii+1)(k-££1in)PP，…，上的部分只与控制顶点ik-+1ik-+2P有关。，i反过来，如果只变动某一个控制顶点P(0i££n)i曲线上只有局部形状发生变化，其他部分均不发生变化。P1P4P7P2P6P′4P0