若fx与hx有界且可积

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1、§0-3卷积convolution二、定义若f(x)与h(x)有界且可积,定义*:卷积符号g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x),则第二个函数的贡献是h(x-x).需要对任何可能的x求和.g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积.二维函数的卷积:§0-3卷积convolution三、计算方法--几何作图法练习:计算rect(x)*rect(x)-101g(x)x11.用哑元t画出二个rect(t)2.将rect(t)折叠后不变;3.将一个rect(-t)移位至给定的x,rect[-(t-x)]=rect(t-x);4.

2、二者相乘;乘积曲线下面积的值即为g(x).rect(t)1t-1/201/2

3、x

4、>1;g(x)=0-1

5、h(x)]+b[w(x)*f(x)]2.卷积满足分配律DistributiveProperty[v(x)+w(x)]*h(x)=v(x)*h(x)+w(x)*f(x)3.卷积满足结合律AssociativeProperty[v(x)*w(x)]*h(x)=[v(x)*h(x)]*w(x)=v(x)*[w(x)*h(x)]§0-3卷积convolution四、性质(续)4.卷积的位移不变性Shiftinvariance若f(x)*h(x)=g(x),则f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)或f(x)*h(x-x0)=g(x-x0)5.卷积的缩放性质Scaling若f(x)

6、*h(x)=g(x),则§0-3卷积convolution五、包含脉冲函数的卷积即任意函数与d(x)卷积后不变根据1.d-函数是偶函数,2.d-函数的筛选性质,有:任意函数与脉冲函数卷积的结果,是将该函数平移到脉冲所在的位置.f(x)*d(x-x0)=f(x-x0)f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.=*bbaaa利用卷积的位移不变性可得:练习0-9.利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N.0-10.利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p

7、位相板，透过率怎样变化？ldxy练习:0-10(透过率=输出/输入)*=ldxyt(x,y)[d(x+d/2)+d(x-d/2)]=*p位相板:输出=输入exp(jp),即:透过率=exp(jp)=-1[d(x+d/2-d(x-d/2)]t(x,y)=*若右边园孔上加p位相板,则x0dlxyy利用卷积性质求卷积的例子练习0-11：用图解法求图示两个函数的卷积f(x)*h(x)若要求写出解析运算式:f(x)=?+?写成tri(x)的平移式h(x)=?+?写成d(x)的平移式利用卷积的线性性质利用d函数的卷积性质利用卷积的平移性质*=f(x)xAa-a0h(x)ka-ax0

8、？练习0-12若f(x)*h(x)=g(x),证明(1)f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)(2)h(x)*f(x)=g(x)(3)§0-4相关correlation信息处理中的重要运算一、互相关crosscorrelation考虑两个复函数f(x)与g(x),定义：作变量替换x+x=x’,则(2)(1)和(2)两个定义式是完全等价的.为函数f(x)与g(x)的互相关函数.(1)互相关是两个函数间存在相似性的量度.§0-4相关correlation一、互相关crosscorrelation(续)与卷积的关系由(2)式易见：(3)1.当且仅当f*(-x)=f(x)[f

9、(x)是厄米的],相关才和卷积相同.一般情况下,相关运算与卷积运算的区别:f(x)要取复共轭运算时f(x)不需折叠rfg(x)=rgf*(-x)(4)由(3)式直接推论得:2.互相关不满足交换律rfg(x)=f(x)★g(x)≠g(x)★f(x)=rgf(x)相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭.§0-4相关correlation二、自相关auto-correlation或:由(4)式立即可得:rff(x)=rff*(-x)复函数的自相关函数是厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)实函数的自相关为实偶函数当f