线性代数23向量组的秩

《线性代数23向量组的秩》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§2.3向量组的秩(rank)①向量组线性相关。引例③部分组线性无关，能够线性表示原向量组中的所有向量。②其中，向量是“多余的”11、定义向量组的部分组满足(1)线性无关；(2)原向量组中的任一向量都可由线性表示，称部分组是向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组。【注】(2)(2)′任取原向量组中的一个向量添加到该部分组中，所得新的部分组一定线性相关。一、极大线性无关组[注]书中定义:(2)的印刷有误。2【注】极大无关组满足的条件：①是原向量组的部分组；②线性无关；③能表示向量组中任一向量。【理解】极大无关组是该向量组的线性无关的部分组中含向量个数最多的。3

2、2、概念理解极大无关组的存在性？仅含O向量的向量组，无极大无关组。含非O向量的向量组，必有极大无关组。线性无关向量组，其极大无关组为其本身。(3)极大无关组的唯一性？求向量组极大无关组.引例(4)若一个向量组有两个极大无关组，它们之间是何关系？(2)如果向量组中含基本单位向量组，其即是一个非常漂亮的极大无关组.No！41、向量组等价向量组若(I)中每一个向量都可由（II）线性表示，称向量组(I)可由（II）线性表示；若(I)和(II)可以相互线性表示，称(I)和(II)等价，记做(I)≌(II),或≌（I）（II）二、向量组的秩5例1判断下列两个向量组是否等价?解

3、6反身性：(I)≌(I)对称性：(I)≌(II)(II)≌(I)传递性：(I)≌(II)及(II)≌(III)(I)≌(III)2、向量组等价的基本性质73、向量组与其极大无关组的关系定理1任一向量组与其极大无关组等价。推论任一向量组的两个极大无关组等价。向量组极大无关组【示意】定义（传递性）向量组≌极大无关组(I)向量组≌极大无关组(II)(I)≌(II)84、线性表示、线性关系、向量个数的有关结论定理2设向量组（I）（II）向量组(I)可以由向量组(II)线性表示，在此前提下，若s>t，则向量组(I)线性相关。【逆否命题】设向量组(I)可以由向量组(II

4、)线性表示，在此前提下，若向量组(I)线性无关，则st。9例1（续）实例验证定理2(I)(II)10推论1两个等价的线性无关向量组，所含向量的个数相等。推论2向量组的任意两个极大无关组，所含向量的个数相等。【评注】向量组的极大无关组所含向量的个数，应该是向量组的一个本质属性，不会因为极大无关组的不同而改变。向量组的极大无关组是该向量组的线性无关的部分组中含向量个数最多的。11定义向量组的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩（rank），记做【重要结论】(1)仅含O向量的向量组，秩为0。(2)向量组线性无关5、向量组的秩(rank)(3)向量组线性相关【评

5、注】可以利用秩与向量组中所含向量的个数判断向量组的线性关系。12(4)s个n维向量，有【重要结论】【注】若s>n，则向量组一定线性相关。(5)s个n维向量，若s≥n，且则其极大无关组可以线性表示任意一个n维向量，从而与n维基本单位向量组等价，进而有≌13定理3等价向量组的秩相等。【注】①逆命题不成立，即“秩相等的向量组不一定等价”，请举例。②等价的向量组有相同的线性关系吗？不一定，请举例。③如何求一个向量组的秩，将在§2.4介绍。5、向量组的秩(rank)14例2设证明:与有相同的秩.解析证两向量组等价,则秩相等.15例3下列两向量组是否等价？与解析两向量组都线性

6、无关，则秩都是3，对由3维向量构成的向量组,若秩为3，根据重要结论，都与3维的基本单位向量组等价，从而两个向量组等价.16例4．若向量组：可由向量组：线性表示，则必有（　　　）A．s≤tB．s>tC．r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）D．r（Ⅰ）>r（Ⅱ）（I）（II）C【注】可以作为结论使用(即课后21题的结论)：若(Ⅰ)可被(Ⅱ)线性表示，则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ).17课后习题P8615,16,1718~2118