三角形的五心综合讲稿(陶平生)

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1、【几何十讲】三角形的五心-B（欧拉线心）（外心、重心与垂心）陶平生三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁心；在数学竞赛中占有十分重要的位置．从赛题统计方面来看，其中又以内心问题最为突出，必须熟悉五心的基本性质，基本构形，常用辅助线以及基本定理的应用．外心、重心与垂心的外心为，重心为，垂心为，则有、三点共线（欧拉线）且；、；、；、与具有相等的外接圆半径；、的垂心是其垂足三角形的内心．例、中，为外心，三条高交于点，直线和交于点，和交于点；求证：、；、．（全国联赛）22证一、（纯几何方法）设于，则，又由共圆，则，所

2、以共圆，所以，因此，同理有．为证，由分别共圆，，，设，在直角三角形中，由于，则，因此∽，且其对应边互相垂直．作∥，于是只要证，，即要证∽，由，只要证…①因…②据①②，只要证…③注意∽，∽，∽，则，相乘得…④由③④，只要证…⑤由于∽，且平分，则，所以，因此，即有．证二、（利用根轴性质）为证，只要证，，据斯特瓦特定理，，同样有，据共圆，又有，所以，因此，同理有．再证，据，得…①；由得…②；由得…③；22由得…④由得…⑤①＋③+④－②-⑤得，所以．证三、（面积与三角方法）（仅证．）如图，作∥，点在上，在与中，因为，，即

3、，于是；为证，只要证∽，即要证…①因，…②，而，．故由②，，因此①成立，故结论得证．证四、（解析法）、取为原点，为轴，建立直角坐标系，设三顶点坐标为，则重心为，于是的方程为：，的方程为：；再设垂心为，则的方程为：；由于，则，因此，，于是的方程为：，且垂心坐标为同理得，的方程为：；因共线（欧拉线），且点外分线段为定比：；记，则，，即，22故，，，因过与的交点，故的方程可表为：，注意过原点，得，所以的方程为：，同理知，的方程为：；所以，；由于，所以；、先求的方程：一方面，由于过与的交点，故的方程可表为：，即：，也即…

4、①另一方面，由于过与的交点，故的方程可表为：，即：，也即…②由于方程①和②表示同一条直线，所以…③，…④由③得，显然有，，所以……⑤由④得，（因，有意义，则）所以……⑥，由⑤⑥得，于是的方程为：22，即，因此，，前已得到，所以，从而．例、如图，以的一边为直径作圆，分别交所在直线于，过分别作圆的切线交于一点，直线与交于一点；证明：三点共线．证：连，则弦切角，由，得，以为圆心，为半径作，交直线于，则，故共点；所以，，得，因此是的垂心．所以，又因，则三点共线．例、如图，分别是的边上的点，且；求证：线段过的重心．证：取的

5、中点，截于，，则，因为在中线上，所以是重心．以上用到，．22例、是的旁切圆，已知分别切三边于；分别切三边于；；；.证明：共线，共线，共线；.证：作于，设，的半径分别记为，则同理，，因为∥，则，故.又设，则，为证，只要证，，即，连，因，故∥，同理，，于是共圆，得，，所以.即三线共点.因，所以，因，而，所以，，因此22∥，而，所以，且共线.即所共直线为的一条高线；同理可得，共线，且其所共直线也构成的一条高线，因此与的交点为的垂心，故在另一条高线上，因此结论得证.例、如图，中，，，是上的点，且；的外接圆分别交于．求证：

6、．证：如右图，设，则，将绕反时针旋转至，则，所以为直角三角形；又显然，所以，故由，得记圆的半径为，则直径，，由圆幂定理，，，即，；所以，即．例、过的外心任作一直线，分别交边于，分别是22的中点.证明：.证：我们证明以上结论对任何三角形都成立．分三种情况考虑，对于直角三角形，结论是显然的，事实上，如图一中左图，若为直角，则外心是斜边的中点，过的直线交于，则共点，由于是的中点，故中位线∥，所以；以下考虑为锐角三角形或钝角三角形的情况，（如图一中右边两图所示）（图一）先证引理：如右图，过的直径上的两点分别作弦，连，分别

7、交于，若，则.引理证明：设，直线分别截，据梅涅劳斯定理，，；则…①而由相交弦，得…②若的半径为，，则…③，据①②③得，，即.因此.引理得证.回到本题，如下图（两图都适用），延长得直径，在直径上取点，使，设，连交于，由引理，，（右图中则是）因此，是的中点，故分别是及的中位线，于是得.22例、锐角三角形的三边互不相等，其垂心为，是的中点，直线，，交于，直线与分别交于．证明：、平分；、三线共点．证：如图，连，因共圆，为圆心，则，连，由共圆，得；又由共圆，得，相加得，，故共圆，又因共圆，即有五点共圆，所以，即共线；五点圆

8、的直径为，设圆心为（为的中点），由，即，故为的直径，从而，进而由，知为的直径，所以，∥∥，因直径过的中点，故垂直且平分弦；同理，的直径，又由，所以∥，∥，则∽，则……；由∥，得∽，……．、相乘，并注意，有，所以∽，22由此，，故平分.为证三线共点，只要证皆过点，据五点圆的圆心角，所以∥，因此共线；同理可得，共线，因此三线共点．例、锐角三角形中，，在边上分别有动点，试确定，