【不等式】三角形结构中的一个解题系统(纯净版)-陶平生.pdf

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1、三角形结构中的一个解题系统陶平生在初等不等式的范围内，有许多是涉及三角形内角函数关系的不等式。对于这类问题，传统的做法通常是“化杂为弦”，并借助正余弦定理或海伦公式将其归结为边的度量关系来解证。由于其变元受三角形条件约束，处理起来不甚方便。以下从一个基本等式出发，导出相应的运算系统，利用“易弦为切”的方法以及这一系统的特殊转换结构，可以简便而有效地处理一系列三角形有关不等式的解证问题。一、三角形中的一个运算系统ABC以下常设，x=cotA，y=cotB，z=cotC（或者x=tan，y=tan，z=t

2、an），其222中A、B、C为三角形的三个内角，则有：1.1）x，y，z中至少有二个正数，并且x+y、y+z、x+z及x+y+z都是正数。事实上，当x，y，z表示半角的正切函数时，显然x，y，z都是正数。今考虑x，y，z表示余切函数的情形，由于三角形中至少有二个锐角，即x，y，z中至少有二个正数，并且cosAcosBsin(AB)x+y=cotA+cotB=+=>0。同理有y+z>0，x+z>0。又将这三式相sinAsinBsinsinAB加得x+y+z>0。1.2）xyyzxz1这是由于，在

3、三角形ABC中成立等式cotAcotB+cotBcotC+cotAcotC=1，以ABBCAC及tantan+tantan+tantan=1。2222222221.3）1x(xyxz)()，1y(xyyz)()，1z(xzyz)()这只要将右端展开，并利用（1.2）式立即可得。2221.4）(1x)(1y)(1z)(xyy)(zx)(z)；222(xy)(1z)(yz)(1x)(xz)(1y)(xyyzxz)()()；222222(1x

4、y)(1)(1yz)(1)(1xz)(1)xy，yz，xz。2221z1x1y这只要利用（1.3）式立即可得。11111.5）（当xyz0）xyzxyz只需将左端通分，并利用（1.2）式即可得到。11.6）(xyyzxz)()()xyzxyz。2事实上，(xyyzxz)()()(xy)(1z)xy(xzyzz)xy(1xyz)xyzxyz1112(xyz)1.7）；2221x1y1z(xyyzxz)(

5、)()xyz2；2221x1y1z(xyyzxz)()()222xyz2xyz1。2221x1y1z(xyy)(zxz)()111111事实上，2221x1y1z(xyxz)()(xyyz)()(xzyz)()2(xyz)，(xyyzxz)()()xyzxyz而2221x1y1z(xyxz)()(xyyz)()(xzyz)()xyz()yzx()zx(y)2(xyyzxz)(

6、)()(xyyzxz)()()222xyz111又(1)(1)(1)2222221x1y1z1x1y1z2(xyz)2(xyzxyz)2xyz=33(xyyzxz)()()(xyyzxz)()()(xyyzxz)()()2xyz=1。(xyyzxz)()()就本质而言，三角形中的所有恒等关系，皆可转化为这类代数关系，我们可根据实际需要，列出更多的等式.由于这组等式分别具有升幂降幂，化解根式，调整转换诸功能，使得将它们用于解

7、证三角形中一类不等式时，显得十分有力。在解证不等式的过程中，最为重要的是应当进行充分的等价变形，尽量减少不等价变形，而对于必需的不等价变形，应尽可能在小范围和局部进行.三角系统中的恒等关系，在处理这类等价变形时，显得十分灵活、简便.2二、若干基本不等式下面的一组不等式，对于x，y，z表示余切函数或半角的正切函数时均为适用。在解证其它不等式时，通常可化归为这些情形。2222.1）xyz1222证：xyzxyyzzx12.2）xyz32222证：由于（xyz）xyz2(

8、xyyzxz)3，且xyz为正数，故xyz3。2.3）xyz9xyz证：如果x，y，z中只有二个正数，则90xyz，而xyz0，此时结论显然；111如x，y，z都是正数，则因xyyzxz1，故9，则有xyz9xyzxyyzxz32.4）xyz9证：如果x，y，z中只有二个正数，则结论显然；当x，y，z都为正数时，由于32131xyyzxz3(xyz)，所以xyz27982.5）(xyxzy)