不等式例讲(南昌数学拔尖班)--陶平生教授

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1、【代数二十讲】不等式例讲（B）问题与练习陶平生基本内容与方法：柯西不等式，平均不等式，排序不等式；变形配凑法，数形结合法，三角代换法，局部放缩法，化归法，归纳法，调整法．1、设正实数xyz,,满足：xyzxyz，777求xyz(1)yzx(1)zxy(1)的最小值．22211132、设abc,,R，满足abc3，求证：．1ab1bc1ca23、在锐角三角形ABC中，证明：323232sinAcos(BC)sinBcos(CA)sinCcos(AB)3sinsinsinABC．n

2、2kk134、对于每个正整数n，证明：2．k1knn5、设0a1a2an，n3，且ai1，i1n求Snan(n1ka)k的最大值．k16、设mn,为正整数，对于aa,,,aR，证明幂平均公式：12nmmmmaaaaaa12n12n．nn7、设xxxx,,,R，满足：xxxx1，证明：1234123444431xkmaxxk,．k1k1k1xk试将其推广到n个元的情况．8、设xRi,1,2,,n，证明：innnnx

3、xxxxxxx12n1n23n1xxxxxxxx23n112n1n9、设02,0xai,1,2,,n；i12n2n1n证明：1i1xixi．i12ani110、设aa,,,a(n2)是互异实数，记12n2222Saaa，Mmin(aa)，12nij1ijn2Snn(1)证明：．M1211、设xyz,,为非负实数，满足xyyzzx1，证明：1115．xyy

4、zzx212、在非钝角三角形ABC中，证明不等式：1cos2A1cos2B1cos2C1cos2A1cos2B1cos2C9．1cos2C1cos2B1cos2A2xyyzzx333313、设xyz,,R，求证：2xyz．zxyxx2n14、设0x,0yyy，证明：1nn112nnnn221(xykk)(yk)((xkxxkk1)yk)，其中x00.k1k1k1415、设xyz,,是互异的非负实数，1114证明：．2

5、22(xy)(yz)(zx)xyyzzx222xyz16、()a、设实数xyz,,都不等于1，xyz1，求证：1.222(x1)(y1)(z1)()b、证明存在无穷多个三元有理数组(,,)xyz，使不等式中等号成立.17、正实数x，y，z满足xyz1，证明525252xxyyzz0．522522522xyzyzxzxy18、设xyz,,0，证明：22xyzxyz41．yzxzxyyzzxxy19、设xyz,,R，且x

6、yz1，证明：xyyzzx2．xyyzyzzxzxxy220、设aRi,1,2,,n，证明：i12n1112．aaaaaaaaa11212n12n3