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时间:2019-08-06
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1、4.1随机变量的期望 4.1.1离散型随机变量的期望 引例10人参加考试,1人得100分,6人得80分,3人得60分,求10人考度的平均分。 【答疑编号:10040101针对该题提问】 解:平均分为: 从本例看:平均分并不等于60、80、100的平均值80。这是由于60分出现的机会多于100分,上面方法出现了60分出现的频率多。100分的频率小,能正确计算平均值。 定义 若X的分布律为P(X=xi)=pi,i=1,2… 当级数绝对收敛时(即收敛) 就说是离散型随机变量X的期望
2、。记作EX,即 说明:(1)若X取值为有限个x1,x2,…,xn 则 (2)若X取值为可列无限多个x1,x2,…,xn… 则 这时才要求无穷级数绝对收敛。 很明显,X的期望EX体现随机变量X取值的平均概念,所以EX也叫X的均值。 【例4-1】设随机变量X的分布律为 求E(X) 解E(X)=(-1)×0.3+0×0.2+1×0.5=0.2 【例4-2】甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为X,Y,它们的分布律分别为 试比较他们成绩的好坏。 【答疑编号:10040
3、102针对该题提问】 解我们分别计算X和Y的数学期望: EX=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8(分)。 EY=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1(分)。 这意味着,如果进行多次射击,甲所得分数的平均值接近于1.8分,而乙得分的平均值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。 4.1.2下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望。 1.两点分布 随机变量X的分布律为 其中0<p<1,有 EX=0×(1-p)+1×p=p。 2.二项分布 设X~B(n,p),即 可以证明它的期
4、望EX=np 二项分布的数学期望np,有着明显的概率意义。比如掷硬币试验,设出现正面概率若进行100次试验,则可以“期望”出现次正面,这正是期望这一名称的来由。 3.泊松分布 设其分布律为 则X数学期望为EX= 小结上面的结果,有下面公式分布EXX~(0,1)X~B(n,p)X~P(λ)pnp 今后在上面三种情形下,期望EX不必用定义计算,可以直接套用公式。 例如若X~B(10,0.8),则EX=10×0.8=8 若X~P(3),则EX=3。 4.1.3 下面介绍离散型随机变量
5、函数的数学期望。 定理4-1设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk,k=1,2,…。 令Y=g(X),若级数绝对收敛,则随机变量Y的数学期望为 特别情形 【例4-5】设随机变量X的分布律为 令Y=2X+1,求E(Y)。 【答疑编号:10040103针对该题提问】 解 EY=(2×(-1)+1)×0.3+(2×0+1)×0.2+(2×1+1)×0.4+(2×2+1)×0.1 =(-1)×0.3+1×0.2+3×0.4+5×0.1=1.6。 【例4-
6、6】设随机变量X的分布律为 且Y=X2,求EY。 【答疑编号:10040104针对该题提问】 解 =(-1)2×0.3+02×0.2+0.52×0.1+12×0.1+22×0.3 =0.3+0.025+0.1+1.2=1.625。 4.1.4连续型随机变量的期望 对于连续型随机变量的期望,形式上可类似于离散型随机变量的期望给予定义,只需将和式中的xi改变x,pi改变为f(x)dx(其中f(x)为连续型随机变量的概率密度函数)以及和号“Σ”演变为积分号“∫”即可。
7、 定义4-2设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若广义积分绝对收敛,则称该积分为随机变量X的数学期望(简称期望或均值),记为EX,即 【例4-7】设随机变量X的概率密度为 求E(X)。 【答疑编号:10040105针对该题提问】 解 【例4-8】设随机变量X的概率密度函数为 求E(X)。 【答疑编号:10040106针对该题提问】 解因为f(x)只在有限区间上不为零,且在该区间上为连续函数,所以E(X)存在,且 根据奇函数的性质知道E(X)=0。
8、 下面介绍几种重要连续型随机变量的期望。 1.均匀分布 设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布,其概率密度为 则 在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量的期望是该区间中点。 2.指数分布 设随机变量X服从参数为λ>0的指数分布,其概率密度为 解:在微积分中有 即指数分布的数学期望为参数λ的倒数。 3.正态分布 设其概率密度为 则X的期望 E(X)=μ。(不证) 上面三种情况列表如下(可以作为公式使用)分
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