概率论与数理统计第5讲 323

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1、概率论与数理统计第5讲（夜大）作业讲解：俄罗斯轮盘赌博游戏说明。复习：条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式独立性案例：在美国，概率已经被广泛应用到法庭的审判中。一件证据在一项审判中是否可以采纳饿主要问题是证据的相关性。相关性是根据联邦证据法用概率来定义的：证据是相关的，如果它具有一种“促使形成比不具有该证据时更可能或更不可能决定行动的任何重要事实的存在性的趋势”。概率被使用的一个著名案例是1968年加利福尼亚州的一个案件——人民对COLLINS夫妇。在一项犯罪审判中，见证人报告说看到一个金发且扎马尾样发型的白人妇女和一个长有八字须和络腮胡子的黑人男子一起从洛

2、杉矶郊区的一个小巷中跑出来，那里正是一位老年人刚刚遭受背后袭击和抢劫的地方。这对男女开者一辆部分为黄色的汽车跑了。因此警察就逮捕了NENETCOLLINS和MALCOLMMOLLINS这对夫妇。他们有一辆部分为黄色的林肯牌汽车，她通常把她的金发挽成马尾型，而男人是一个黑人，尽管逮捕时，他的胡子干干净净，但仍能看出不久前他还是满脸落腮胡子的痕迹。在审判中，公诉人说他有COLLINS夫妇有罪的“数学证据”。他给出了由见证人指出的特征的下列“保守的概率”：具有八字须胡子的男人1/4扎马尾发型的女人1/10金发女人1/3长有落腮胡子的黑人男子1/10不同种族的夫妇同在一辆

3、汽车中1/1000部分黄色的汽车1/10公诉人于是争辩说这些概率的乘积为1/12000000，因此在洛杉矶地区具有所有上述特征的另一对夫妇的可能性小于千万分之一。陪审团于是判定这对夫妇有罪，但加州最高法院在上诉中驳回了这样的定罪。如果事件A的结果影响到事件B，那么就说B是“依赖”于A的。例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率。在日常生活中说的“彼此没有关系”的事件称为“独立”事件。你明天穿雨衣的概率是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。大多数人很难相信一个独立事件的概率由于某种原因会不受临近的同类独立事件的影响。比如，第一次世界大战期间，前线的战士要

4、找新的弹坑藏身。他们确信老的弹坑比较危险，因为他们相信新炮弹命中老弹坑的可能性较大。因为，看起来不可能两个炮弹一个接一个都落在同一点，这样他们就合理地认为新弹坑在一段时间内将会安全一些。有一个故事讲的是很多年前有一个人坐飞机到处旅行。他担心可能哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸弹。于是他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸了火药的炸弹。他知道一架飞机上不太可能有某个旅客带着炸弹，他又进一步推论，一架飞机上同时有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。事实，他自己带的炸弹不会影响其他旅客携带炸弹的概率，这种想法无非是以为一个硬币扔出的正反面会影响另一个硬币的正反面的另一种形式而已

5、。第六节独立性甲、乙两个人一先一后抛硬币，甲得到H是否与乙得到H有关。我们知道，一般，A发生对B发生是有影响的，这时。只有在这种影响不存在时才会有5。即有；定义：设A，B是两事件，如果满足等式则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。容易知道，若，则A，B相互独立与A，B互不相容不能同时成立。两个事件相互独立，其实质是一个事件B出现的概率与另一事件A是否出现没有关系。而说A，B互不相容，则是指B的出现必然导致A的不出现，或A的出现必然导致B的不出现，即，从而B出现的概率与A的出现密切相关。定理一设A，B是两事件，且。若A，B相互独立，则，反之亦然。定理二若事件A与B

6、相互独立，则下列各对事件也相互独立与，与B，与证明：因为，则有并有由此可知与B，与也相互独立。下面我们将独立性概念推广到三个事件的情况。定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式则称事件A，B，C相互独立。一般地，设是个事件，如果对于其中任意个积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称相互独立。由定义，可以得到以下两点推论（1）若事件相互独立，则其中任意个事件也相互独立；（2）若相互独立，则将中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的个事件仍然相互独立。5两事件的相互独立的含义是它们中一个已经发生，不影响另一个发生的概率。在实际应用中，对于事件的独立性常常是根据事件的

7、实际意义去判断。一般，若由实际情况分析，A，B两事件之间没有关联或关联很微弱，那就认为它们是相互独立的。“个事件相互独立”与“个事件两两独立”的关系如何？个事件相互独立，一定有个事件两两独立，反之不然。例1设试验样本空间为，且，令。则有A，B，C两两独立。但是，所以A，B，C不相互独立。例2空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0。2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率0。3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是0。4，求在上述几个回合中：（1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率。解：设A=“第一次攻击甲击落乙”；B=“第二次攻击乙击落

8、甲”；C=