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1、第二讲极限§2.1极限的概念和定义一、知识结构1、极限概念产生的背景为了把有限个数（式）的和转化成无限个数（式）的和、近似值转化为精确值，需要学习极限的有关概念和性质.例如，函数，和直线所围成曲边梯形面积的代数和.，其中划分，，，，，.再例如，函数，的图形为顶、为底所围成曲顶柱体体积的代数和.，其中划分，，，.，,，,，,.2010年考研题：选择题:A．；B．；C．；D．.解选D.因为,所以选D.再例如，对无限个数的和，可转化为有限个数的极限.2、极限的概念极限的概念对于一个函数（，，等），有两个相互关联的变化过程（当时，
2、有或当时，有）：自变量和因变量的变化过程.当自变量的变化过程是一个趋向于确定点（无穷远点或有限点）时，因变量的无限变化过程是一个趋向于一个确定常数，我们称该常数为函数的极限.极限用于刻画自变量变化时，因变量的变化规律.3、极限的定义给极限下定义经常用以下语言：对，则有两个性质:①是一个要多么小有多么小的正数；②是一个要多么大有多么大的正数.所以，可以用来定义、、、、、、、、和.即，，，，，，，，.③因变量趋向于一个确定的常数,因变量仅趋向于一个常数,而不是两个以上.总结:用是一个要多么小有多么小的正数这一性质来定义变量趋向
3、于一个确定的常数,用是一个要多么大有多么大的正数这一性质来定义变量趋向于无穷.(1)一元函数极限(一元函数的收敛)的定义数列的极限（当时,有或()）,数列是一个一元函数，.定义1对，正整数，且,是的反比例函数.当时，有,其中是一个常数,我们称数列的极限为或数列收敛于.说明:①正整数是的反比例函数,所以.由于表示所有的正数,所以表示要多么大又多么大正整数.②用数列极限的定义证题时,关键是找到是的函数关系式,一般只要令,便可得到证明结果.③定义的否定形式：，对正整数，，当时，有,其中是一个常数.我们称数列的极限不是或数列不收敛
4、于,但不能说数列的极限不存在函数的极限(当,,时)定义2对，正数，且是的反比例函数。当时，有,其中是一个常数,我们称函数当时的极限为,记作,或().定义3对，正数，且是的反比例函数。当时，有,其中是一个常数,我们称函数当时的极限为,记作,或().定义4对，正数，且是的反比例函数。当时，有,其中是一个常数,我们称函数当时的极限为,记作,或().说明：以上称为函数极限的定义.定义5对，，且是的正比例函数。当时，有,其中是一个常数,我们称函数当(从左边趋向于)时的极限为,记作,或()或.定义6对，，且是的正比例函数。当时，有,其
5、中是一个常数,我们称函数当(从右边趋向于)时的极限为,记作,或()或.定义7对，，且是的正比例函数。当时，有,其中是一个常数,我们称函数当(从左、右两边趋向于)时的极限为,记作,或().说明：①以上称为函数极限的定义，定义中的条件换为条件时，定义的适应范围变小.例如，将定义中的条件换为条件时，极限不存在.因为函数的分子与分母不能同除以（可能等于0），所以我们说极限不存在.关于左右极限的结论存在(请同学给出证明).极限不存在的情况，，，，，，，，，，，.的定义：对，正整数，且,是的函数.当时，有,我们称数列的极限为或称数列的
6、极限不存在.的定义：对，，且是的函数。当时，有,我们称函数的极限（当）为或称函数的极限（当）不存在.(2)多元函数极限(多元函数的收敛)的定义以二元函数为例来研究多元函数极限的定义.二元函数极限的定义（当，，，时）定义1对，，且是的正比例函数。当，时，有,其中是一个常数，我们称函数当的极限为，记作或或（）.定义1＇对，，且是的正比例函数。当（）时，有（）,其中是一个常数.我们称函数当的极限为，记作记作或或或（）.定义2对，,，均是的反比例函数,当时，有,其中是一个常数.我们称函数当的极限为，或或（）.定义3对，，当时，有,
7、其中是一个常数.我们称函数当的极限为,记作.定义4对，，，且是的反比例函数，是的正比例函数。当时，有,其中是一个常数.我们称函数当的极限为.(3)数列的上极限和下极限.如果数列当时趋向于多个常数,则称常数中的最大者为数列的上极限,最小者为数列的下极限.定义1对，正整数，当时，有,其中是一个常数,我们称为数列的上极限,记作.定义2对，正整数，当时，有,其中是一个常数.我们称为数列的下极限,记作.例如,(西安交通大学2002年)设有数列:,则,.(4)函数列的极限函数列在上的极限定义1设函数列，，对，固定的，正整数，当时，有,
8、其中是一个确定的函数.我们称函数列的收敛于.记作.函数列在上的极限（函数列的收敛于）定义2设函数列，，对，对每一个，均正整数，当时，有,其中是一个确定的常数.我们称函数列的收敛于.记作.(5)累次极限,，累次极限定义1对，每一个，，当时，有，我们称函数当时的极限为，.并且对，，当时，有,其中是一个常数.
