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1、七、最大熵谱估计1、利用最大熵的原则外推自相关函数2、最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性八、最大似然谱估计1、最小方差谱估计2、最大熵谱与最大似然谱估计的关系九、特征分解法谱估计1、正弦波用退化AR模型表示2、白噪声中正弦波组合用一特殊的ARMA模型表示3、特征分解法谱估计功率谱估计十、Prony谱分析法1、利用最大熵的原则外推自相关函数2、最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性十一、多重信号分类MUSIC1、最小方差谱估计2、最大熵谱与最大似然谱估计的关系十二、特征分解法谱估计1、波束形成器2、特征子空间分析3、MUSIC算法及其改进功率谱估计一、最大
2、熵谱估计1.利用最大熵的原则外推自相关函数按照Shannon对熵的定义，当随机变量X取离散值时，熵的定义为(4.6.1)式中pi是出现状态i的概率。当X取连续值时，熵的定义为(4.6.2)式中,p(x)是X的概率密度函数，对于离散随机序列,概率密度函数用联合概率密度函数代替。显然,熵代表一种不确定性，最大熵代表最大的不确定性，或者说最大的随机性。下面我们研究对于有限的自相关函数值不作任何改变，对于未知自相关函数用最大熵原则外推，即不作任何附加条件的外推方法。假设x(n)是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数为式中按照（4.6.2）式，x
3、(n)信号的熵为（4.6.3）式中det(Rxx(N))表示矩阵Rxx(N)的行列式，由上式表明为使熵最大，要求det(Rxx(N)最大。若已知N+1个自相关函数值rxx(0),rxx(1),…,rxx(N)，下面用最大熵方法外推rxx(N+1)。设rxx(N+1)确实是信号自相关函数的第N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成的矩阵为（4.6.4）它必须是非负定的矩阵，即（4.6.5）将行列式展开，det(Rxx(N+1))是rxx(N+1)的二次函数，该二次函数系数的符号是：(-1)1+N+2(-1)1+N+1=-1，且det(Rx
4、x(N+1))对rxx(N+1)的二次导数是-2det［Rxx(N-1)］，它是负值，负值表示det(Rxx(N+1))对rxx(N+1)的一次导数是减函数，det(Rxx·(N+1))作为rxx(N+1)的函数，凹口向下，那么只有一个最大值。为选择rxx(N+1)使det(Rxx(N+1)最大，解下列方程：(4.6.6)用数学归纳法，得到（4.6.7）上式是rxx(N+1)的一次函数，可以解出rxx(N+1)。继续再将rxx(N+1)代入Rxx(N+2)和det(Rxx(N+2))中，求det(Rxx(N+2))对rxx(N+2)的最大值，得到rxx(
5、N+2);以此类推，可推出任意多个其它自相关函数值，而不必假设它们为零，这就是最大熵谱估计的基本思想。2.最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性我们已经知道AR模型信号自相关函数与模型参数服从Yule-Walker方程，即将m≥1的情况写成矩阵形式：m>0m=0式中ai是AR模型系数,i=1,2,3,…,N,。在AR模型中,列写齐次方程式,可得（4.6.8）及利用N个参数,由齐次方程组即可解得a1,a2,…,aN值,再将得到的参数值代入(4.6.8)式,并将它整理成行列式:可以看出AR模型得到的结果与按最大熵外推rxx(N+1)得到的结果一致，这就证明了
6、当x(n)为高斯分布时的最大熵谱估计与AR模型法是等价的。上式（4.6.8)是rxx(N+1)的一次函数，由此可解得rxx(N+1)。再用类似的方法求得rxx(N+2)，rxx(N+3)，┄，然后确定功率谱估计。最大熵谱估计用下式计算信号功率谱：（4.6.9）二、最大似然谱估计１、最小方差谱估计最大似然谱估计是用一个FIR滤波器实现，该滤波器对所关心频率的正弦信号，可以无失真地通过，而对于其它频率的信号，让其频响尽可能地小，亦即将它们尽可能地滤除。此时,滤波器输出的均方值，就作为信号的功率谱估计。设实信号用x(n)表示，FIR滤波器系统函数用A(z)表示
7、：输出y(n)为(4.6.10)式中输出信号的均方值为(4.6.11)上式中T表示转置,H表示共轭转置,Rp=E［XXT］是Toeplith自相关矩阵,为求,必须先求FIR滤波器的系数。求这些系数的原则是：在所关心频率ωi处，信号x(n)无失真地通过，即在ωi处的传输函数为1：式中(4.6.12)另外一个原则是在ωi附近的频率分量尽量衰减掉，即ω≠ωi处,滤波器输出y(n)的均方差最小,即(4.6.11)式最小,此时作为信号x(n)的功率谱估计。因此,最大似然谱估计称为最小方差谱估计更为合适，但由于习惯也可以仍称为最大似然谱估计。在以上原则下，使方差最小
8、的滤波器系数和分别为［30］、［31］应该指出,此时并不是真正意义上的信号功率谱
