二次函数的综合应用01

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1、二次函数的综合应用一、与其他函数的综合应用解：（1）如两个函数为，函数图形略；　　　　（2）不论k取何值，函数的图象必过定点，且与轴至少有1个交点.证明如下：由，得当即时，上式对任意实数k都成立，所以函数的图像必过定点.又因为当时，函数的图像与x轴有一个交点；当时，，所以函数图像与x轴有两个交点.所以函数的图象与轴至少有1个交点.　　　　（3）只要写出的数都可以.，函数的图像在对称轴直线　　　　　　的左侧，随的增大而增大.　　　　　　根据题意，得，而当时，　　　　　　所以.2、已知抛物线与抛物线

2、在直角坐标系中的位置如图所示，其中一条与轴交于，两点．（1）试判断哪条抛物线经过，两点，并说明理由；ＡＢＯ（2）若，两点到原点的距离，满足条件，求经过，两点的这条抛物线的函数式．10解：（1）抛物线不过原点，，令，，与轴无交点，抛物线经过，两点．（2）设，，，是方程的两根，，在原点左边，在原点右边，则，．．，，，得，所求函数式为．一、二次函数与三角形的综合应用ＡＣＯＢ1、下图是二次函数的图像，与轴交于，两点，与轴交于点．（1）根据图像确定，，的符号，并说明理由；（2）如果点的坐标为，，，求这个二

3、次函数的函数表达式．解：（1）抛物线开口向上，；图像的对称轴在轴左侧，，又，；图像与轴交点在轴下方，．，，．（2），，，，，，，．设二次函数式为，10把代入上式，得，所求函数式为．2、已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．解：（1）∵△=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个不同交点．（2）设A（x1，0），B（x2，0），则

4、AB

5、2=

6、x2﹣

7、x1

8、2=[（x1+x2）2﹣4x1x2]2=[4p2﹣8p+8]2=[4（p﹣1）2+4]2所以

9、AB

10、=2又设顶点M（a，b），由y=（x﹣p）2﹣（p﹣1）2﹣1．得b=﹣（p﹣1）2﹣1．三、二次函数与四边形的综合应用OxAMNBPC1、如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设

11、点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.[来源:学*科*网]解：（1）易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB的解析式为y=（2）10（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有，解得，所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形.①当t=1时，，，

12、故,又在Rt△MPC中，，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形②当t=2时，，，故,又在Rt△MPC中，，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形。四、韦达定理一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac≥0)中，设两个根为x1，x2则　　X1+X2=-b/a　　X1*X2=c/a1、已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，若，是方程的两根，且．（1）求，两点坐标；（2）求抛物线表达式及点坐标；解：（1）由，，，得，，，，．（2）抛物线过，两点，其对称轴为，顶点

13、纵坐标为，抛物线为．把，代入得，抛物线函数式为，其中．五、二次函数存在性问题1．如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1,－3）．10(1）求抛物线的解析式；(2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．xyCB_D_AO解：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程图2∴解之

14、得：；故为所求(2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点设BD的解析式为，则有，，故BD的解析式为；令则，故(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，图3由（2）知，OM=OA=OD=2，易知BN=MN=1，易求；设，依题意有：，即：解之得：，，故符合条件的P点有三个：10xyO112.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。(1)求点B的坐标；(2)点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点