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时间:2019-08-04
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1、轴对称变换的实际应用哈尔滨市延寿县寿山中学王成2011.11.1讲解新课问题1如图,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A,B两城镇供气(即两城市之间没有管道).泵站修在什么地方,可使所用的输气管线最短?实际问题数学化(1)如图,已知点A、B在直线l的同侧.在l上找点P,使PA+PB最小.(2)对“线段和最小”的理解在直线l上任取两点P1、P2,通过度量,比较AP1+BP1与AP2+BP2的大小.(3)对画图找点的引导辅助问题:如图,已知点A、B在直线l的异侧,在l上找点P,使PA+PB最小.解略.(4)求解问题1解:作点B关
2、于直线l的对称点B1,连接AB1,AB1与直线l交于P,点P即为所求.理由:如图,由轴对称性质BP=B1P,所以AP+BP=AP+B1P,当A、P、B1三点共线时AB1最短,所以P点为所求.数学思考如果P1是异于点P的一点,你能证明AP1+BP1>AP+BP吗?证明:连接B1P1.由轴对称性质,BP1=B1P1,BP=B1P.所以AP1+BP1=AP1+B1P1,AP+BP=AP+B1P=AB1,在△AP1B1中,AP1+B1P1>AB1,即AP1+BP1>AP+BP.问题2如图,已知甲、乙、丙三做接力游戏,开始时,甲站在∠A
3、OB内的P点,乙站在OA边上,丙站在OB边上,游戏规则:甲将接力棒传给乙,乙将接力棒传给丙,最后丙跑至终点P处。如果三人速度相同,试作图求出乙丙站在何处,他们比赛所用时间最短。B2如图,P为∠AOB内一定点,分别在OA与OB上找点,M,N使△MPN的周长最小.APOPP1NM解:三人的速度一定且相同,要使比赛时间最短,只需三人所走的路程最短,因此可以利用轴对称知识,作点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连接P1P2,交OA于M,交OBN于,则点M和点N应分别是乙、丙的位置。这样连接MP、NP则三人行的路程和为MN+MP+NP
4、=MN+MP1+NP2=P1P2问题3如图,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地某一处牧马,再到河边饮马,然后牵马回到帐篷,请你帮他确定这一天所走的最短路线.应用所学的知识解决问题实际问题数学化如图,已知∠MON内有两定点A、B,分别在OM和ON上各点C、D,使AC+CD+BD最小.问题的求解解:作点A关于OM的对称点A1,作点B关于ON的对称点B1,连接A1B1,A1B1与OM、ON分别交于点C、D,则此时AC+CD+BD最小.某开发区新建了两片住宅区:A区、B区(如图).现在要从煤气主管道的一个地
5、方建立一个接口,同时向这两个小区供气.请问,这个接口应建在哪,才能使得所用管道最短?A小区B小区煤气主管道请你出谋划策lBAPA'P'作法:1.作点A关于直线l的对称点A’;已知:直线l和l的同侧两点A、B.2.连结A’B,交l于点P.∴点P就是所求的点.∵直线l是点A、A’的对称轴,点P、P’在对称轴上,∴AP=A’P,AP’=A’P’.在l上任取另一点P’,连结AP、AP’、BP’、A’P’.证明:在△A’BP’中,A’B6、AP+BP最小.∴AP+BP=A’P+BP=A’B.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,且AC=BD,若A到河岸CD的中点的距离为500m,若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?最短路程是多少?ADCBNMA′1000m迁移与应用变:如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,且AC≠BD,若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?ADCBMA′变:如图,已知,∠AOB内有一点P,求作△PQR,使Q在OA上,R在7、OB上,且使△PQR的周长最小.ABO●PP′P″RQ小结作业谢谢大家
6、AP+BP最小.∴AP+BP=A’P+BP=A’B.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,且AC=BD,若A到河岸CD的中点的距离为500m,若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?最短路程是多少?ADCBNMA′1000m迁移与应用变:如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,且AC≠BD,若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?ADCBMA′变:如图,已知,∠AOB内有一点P,求作△PQR,使Q在OA上,R在
7、OB上,且使△PQR的周长最小.ABO●PP′P″RQ小结作业谢谢大家
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