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《4、2012年北京各区二模代数几何综合题(教师版)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、东城25.如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数的图像与轴交于点,与轴交于A、B两点,点B的坐标为(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标;(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点,若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分,求出此时点的坐标;(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点,问:点P在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点P的坐标.西城区25.在平面直角坐标系xOy中,抛物线的顶点为M,直线,点为轴上的一个动点,过点P作轴的垂线分别交抛物线和直线于点A,点B.⑴直接写出A,B两点的坐标(用含的代数式
2、表示);⑵设线段AB的长为,求关于的函数关系式及的最小值,并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系;(3)已知二次函数(,,为整数且),对一切实数恒有≤≤,求,,的值.25.解:(1),.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分图10(2)=AB==.∴==.﹍﹍3分∴当时,取得最小值.﹍﹍4分当取最小值时,线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM.(如图10)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分(3)∵对一切实数恒有≤≤,∴对一切实数,≤≤都成立.()①当时,①式化为0≤≤.∴整数的值
3、为0.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分此时,对一切实数,≤≤都成立.()②③即对一切实数均成立.由②得≥0()对一切实数均成立.④⑤∴由⑤得整数的值为1.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分此时由③式得,≤对一切实数均成立.()即≥0对一切实数均成立.()当a=2时,此不等式化为≥0,不满足对一切实数均成立.当a≠2时,∵≥0对一切实数均成立,()⑥⑦∴∴由④,⑥,⑦得0<≤1.∴整数的值为1.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分∴整数,,的值分别为,,.海淀区24.如图,在平面直角
4、坐标系xOy中,抛物线与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且对称轴与x轴交于点C.(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示);(2)D为BO中点,直线AD交y轴于E,若点E的坐标为(0,2),求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,点M在直线BO上,且使得△AMC的周长最小,P在抛物线上,Q在直线BC上,若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.CAOBxyCAOBxy备用图24.解:(1)∵,∴抛物线的顶点B的坐标为.……………………………1分(2)令,解得,.∵抛物线与x轴负半轴交于点A,∴A(m,0)
5、,且m<0.…………………………………………………2分过点D作DF^x轴于F.由D为BO中点,DF//BC,可得CF=FO=∴DF=由抛物线的对称性得AC=OC.∴AF:AO=3:4.∵DF//EO,∴△AFD∽△AOE.∴由E(0,2),B,得OE=2,DF=.∴∴m=-6.∴抛物线的解析式为.………………………………………3分(3)依题意,得A(-6,0)、B(-3,3)、C(-3,0).可得直线OB的解析式为,直线BC为.作点C关于直线BO的对称点C¢(0,3),连接AC¢交BO于M,则M即为所求.由A(-6,0)
6、,C¢(0,3),可得直线AC¢的解析式为.由解得∴点M的坐标为(-2,2).……………4分由点P在抛物线上,设P(t,).(ⅰ)当AM为所求平行四边形的一边时.j如右图,过M作MG^x轴于G,过P1作P1H^BC于H,则xG=xM=-2,xH=xB=-3.由四边形AMP1Q1为平行四边形,可证△AMG≌△P1Q1H.可得P1H=AG=4.∴t-(-3)=4.∴t=1.∴.……………………5分k如右图,同j方法可得P2H=AG=4.∴-3-t=4.∴t=-7.∴.……………………6分(ⅱ)当AM为所求平行四边形的对角线时
7、,如右图,过M作MH^BC于H,过P3作P3G^x轴于G,则xH=xB=-3,xG==t.由四边形AP3MQ3为平行四边形,可证△AP3G≌△MQ3H.可得AG=MH=1.∴t-(-6)=1.∴t=-5.∴.……………………………………………………7分综上,点P的坐标为、、.朝阳区25.在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-3,0)、B(4,0)两点,且与y轴交于点C,点D在x轴的负半轴上,且BD=BC,有一动点P从点A出发,沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动,同时另一个动点Q从点C出发,沿线段CA以某一速度向点
8、A移动.(1)求该抛物线的解析式;(2)若经过t秒的移动,线段PQ被CD垂直平分,求此时t的值;(3)该抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MA的值最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.25.解:(1)∵抛物线经过A(-3,0),B(4,0)两点,∴解得∴所求抛物线的解析式为.……………………………