教学目的全微分的有关概念和意义

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1、全微分教学目的：全微分的有关概念和意义教学重点：全微分的计算和应用教学难点：全微分应用于近似计算全微分类似地可以建立多元函数微分的概念.全微分二元函数全微分定义dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy为z=f(x,y)在点(x,y)的全微分。例1设矩形的长和宽分别用x、y表示，则此矩形的面积为z=xy.Δz=(x+Δx)(y+Δy)－xy=yΔx+xΔy+ΔxΔy所以z=xy可微例题定理2若函数z=f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数都连续，则它在点(x,y)必可微.例2求z=x2+y2+xy在点(-1,1)处

2、的全微分.全微分存在定理解由此得例3若函数z=f(x,y)在区域D上处处可微，则称f(x,y)为区域D上的可微函数.例题二元函数全微分的概念与性质，可类似地推广到更多元的函数.例如，若三元函数u=f(x,y,z)的各个偏导数都连续，则u的全微分du=fx(x,y,z)dx+fy(x,y,z)dy+fz(x,y,z)dz全微分的推广例4求函数u=x+sin2y+eyz的全微分du.解因为所以例题如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，由全微分的定义知Δz与dz之差是的高阶无穷小,所以当

3、Δx

4、、

5、Δy

6、都很小时，Δ

7、z≈dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy即全微分的应用解由公式得例题解设黄铜的比重为圆柱体的体积为例题定理1若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，则它在点(x,y)必连续.一元函数在某点的导数存在微分存在．结论3多元函数在点(x,y)各偏导数存在,不一定在点（x,y)可微全微分的性质例7证明在点（0,0）各偏导数存在，不可微。解上式的极限不存在，所以f(x,y)，在点（0,0）不可微。例题多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导例题