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《(5.1)等差等比数列_讲课用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、等差、等比数列数列是定义在自然数集或它的子集上的一个函数，求数列的通项公式相当于求这个函数的表达式.同时，数列的前n项的和也组成一个数列，且，.数列的有关问题，往往围绕通项与求和问题展开.等差数列与等比数列是两种最基本、最常见的数列.我们应当熟知一下性质.等差数列的性质：①若为等差数列，则（k为常数）仍为等差数列.②若，为等差数列，则（，为常数）仍为等差数列.③若为等差数列，则的充要条件是.等比数列的常用性质：①若为等比数列，则（k为常数）仍为等比数列.②若，为等比数列，则（，为常数）仍为等比数列.③若为等
2、比数列，则的充要条件是.例1已知一个等差数列其中有三项：13、25、41.试证明：2009为此等差数列中的一项.解方法1：设已知等差数列的公差为d，则，即由得.由得.因为,其中,所以2009为此等差数列中的一项.方法2：设已知的等差数列的公差为d,则,即假设存在使得(3)即得.当时,,即,其中.所以2009为此等差数列中的一项.方法3：设13、25、41所在的等差数列为，则37必为此数列中的一项（因为25为13、37的等差中项），由，可以构造一个等差数列（分两种情况讨论）：(1)…,13,17,21,25,
3、29,33,37,41,…易知，这个等差数列一定是数列的一个子列，此时公差，而，所以2009为此等差数列子列中的一项.（2）…,41,37,33,29,25,21,17,13,…易知，这个等差数列一定是数列的一个子列，此时公差，而，所以2009为此等差数列子列中的一项.综合(1)、(2)得2009为此等差数列中的一项.方法4：设13、25、41所在的等差数列为，则而与公约数为2或4或，构造出含有13、25、41三项公差d分别为2或4或的等差数列的子列.仿方法3便可证得2009为此等差数列中的一项.方法5：定
4、理各项为整数的等差数列，公差为d的充要条件是各项为整数的数列中的任一项被整数d除余数相同（证明略）.设已知的等差数列的公差为d,依题意,不妨取,且.当且仅当时,,,此时,由定理知2009为此等差数列中的一项.例2各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.分析已知公差，那么等差数列的各项都可以用首项表示出来，于是根据第二个条件，就可以得到一个关于和项数n的不等式.解不妨设等差数列的公差为4，由题设条件可得，即，整理得①当且仅当时，至少存在一
5、个实数满足不等式①.于是由得，即.注意到，，故满足条件的自然数n的最大值为8，即满足题设条件的数列至多有8项.例3设数列与的通项分别为,,它们的公共项由小到大排成数列，求的前n项的和.分析是等比数列，是等差数列，探索两个数列公共项排成的数列的特征，求出通项公式或求和公式.解由题设条件易知，.设的第m项与的第k项相等，并设这是的第n项，即.由于是递增的，它的第m+1项为，显然不是的项；而的第m+2项为，这是的项，从而也是的第n+1项：.由此可见，是首项为8、公比为4的等比数列，所以它的前n项的和是.例4数列满
6、足：，且对每个，，是方程的两根，则___________.分析关键是求出的通项公式，由条件得出关系式再进行变形.解对每个，，，可知，因此是一个公比为-1的等比数列，其首项为，故，即，则，于是，因此.例5正项数列满足，，，，单调递增且成等比数列，为的前n项和，则的值是________.分析已知条件等式变形，以显现数列的性质，便于求.解由已知有①所以，而，因此，可知，解得.又因为，，单调递增知.再由①式得②得，因此，故是以3为周期的数列，可知，因此，∴.例6设非负等差数列的公差，记为数列的前n项和，证明：（1）
7、若，且，则；（2）若，则.分析根据，可得，利用均值不等式进行放缩可证明；第（2）小题的证明显然要用到第（1）小题的结论.解设非负等差数列是首项为，公差为.（1）因为，所以，，，从而有.因为，所以有，.于是.（2）.又因为，所以有.说明本题把等差数列的知识和不等式的证明结合在一起，均值不等式的恰当运用是解题的关键.例7设n为正整数，求证是完全平方数.证明由于=.因为能被3整除，故是正整数，是完全平方数.例8设是给定的正整数，记.求中所有元素的和.解因为（1）当为奇数时，，是中的最小数，又，是中的最大数.集合中
8、的元素组成以3为公差的等差数列，其中为首项，为末项，设其项数为l，则，所以.中所有元素的和是（2）当为偶数时，是奇数，由（1）可知是3的倍数，因此是3的倍数，同理可证也是3的倍数，这样，中最小数是，最大数是.设中有个数，则，，中的所有元素的和是.例9个正数排成行列的一张表：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知，，，求的值.解设第一行个数组成的等差数列的公差为d，各列所组成的数列
