概率论和数理统计讲义稿

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1、第一章随机事件与概率§1.1随机事件1.1.1随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母。称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母和表示样本点及样本空间。必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬

2、币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这

3、在有3种结果的样本空间内是不对的。例1.1.1：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间简化为：={正面,反面}。：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现的点数。样本空间为：。:掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到={（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面)}读者可以将其推广到掷n个硬币，样本空间里

4、有多少样本点呢？：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目标所进行的射击次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间为，其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为。：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取也许就足够了。在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高

5、和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。因此，样本空间是。□1.1.2随机事件随机试验的结果称为随机事件，简称事件，并以大写英文字母记之。1.1.3事件与集合的对应以及它们的运算通常用希腊字母表示样本空间,表示样本点。称“是的成员”或者“属于”，或者“是的元素”，记为.如果不是试验的一个可能结果，那么不是的元素，则记为.一个事件对应于样本空间的一个子集，因此某事件发生当且仅当它对应的子集中的某个元素（即样本点）在试验中出现。用表示事件是的子集。事件的相互关系与集合论中集合的包含、相等以及集合的运算等概

6、念对应。以下就是这些对应关系与运算。为简化起见，以下均假设涉及的集合等都是的子集，而不再每次申明。1.事件的包含—集合的包含集合即“包含于”，意为中元素都在中，或说，如果，必有。对应于事件，表示的样本点都在中，即当的样本点出现于试验结果之中，即发生时，当然也就发生了，或说“的发生必导致的发生”。图1.1的文氏图2.事件的相等—集合的相等称集合A和B相等，并记为，是说“且”。对应于事件，称A和B相等，记为，就是“如果发生，则必然发生，同样如果发生，则必然发生”。相等的事件含有相同的样本点。3.事件的并（和）—并集集合A和B的并集记为,它的元

7、素或者属于，或者属于（当然有的可能同时属于A和B），即。对应事件的并表示“或至少有一个发生”。图1.2的文氏图并的概念可以推广到个事件和可数个事件,的并表示“中至少有一个发生”；可数个事件的并表示“中至少有一个发生”。1.事件的交（积）—交集两个集合A和B的交集记为，它是由既属于A又属于B的元素构成的集合，即对应于事件的交表示“A和B同时发生”。常简记作。图1.3的文氏图类似地，交得概念也可以推广到个事件的交,表示“个事件同时发生”，可数个事件的交表示“可数个事件同时发生”。2.逆事件（对立事件）—补集的子集A的补集记为，它是由属于但不属

8、于A的元素构成的集合，因为仅牵涉到属于（样本空间）的点，集合就是由那些不属于A元素组成的。记为图1.4的文氏图对应于事件，发生当且仅当不发生时发生，称作事件的逆事件。利用上述事件的并和交的运算