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时间:2019-08-02
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1、4.1中值定理4.1.1中值定理4.1.2洛必塔法则如果函数满足条件:(1)在上连续;(2)在内可导;(3),则在区间 内至少存在一点,使定理4.1(罗尔 定理)4.1.1中值定理几何解释:例设 , 在 区间显然满足罗尔定理前两个条件.且, ,即第三个条件也成立.所以,令 ,解得 , ,取有 .例1验证函数在区间上满足罗尔定理的三个条件,并求出满足的.解因是多项式,所以在上可导,故在上连续,且在可导.容易验证因此,满足罗尔定理的三个条件.而练习一下列函数在指定的区间上是否满足罗尔定理
2、的条件?如满足,就求出定理中的.定理4.2(拉格朗日Lagrange定理)则在区间 内至少有一点 ,使得.如果函数 满足条件:(1)在上连续;(2)在 内可导;几何解释:就是满足定理结论的点.还有下面两个推论:推论1如果函数 在区间 内任一点的导数 都等于零,则在 内是一个常数.推论2如果函数 与函数 在区间内的导数处处相等,即 ,则 与 在区间 内只相差一个常数.即.例2验证函数在区间上满足拉格朗日定理.例3证明:在区间内练习二下列函数在指定的区间上是否满足拉格朗日定理的条件?如满足,就求出定
3、理中的.定义如果当(或)时,两个函数 与 都趋于零或都趋于无穷大,那么极限 可能存在,也可能不存在.通常把这种极限称为 或 未定式。例如,4.1.2洛必塔法则(2)与 在点 的某个领域内(点 可除外)可导,且 ;(1), ;(3)(或 ).1.型未定式定理4.4(洛必塔法则)若函数 与 满足条件:则(或 ).例1求.解当 时,有 和,这是 型未定式.由洛必达法则.例2求.解当 时,有 和,这是 型未定式.由罗必达法则.当 时,有 和 ,仍是 型未定式.再用罗必达法则.
4、例3求 .解当 时,有 和,这是 型未定式.由罗必达法则(1),;(2)与在点的某个领域内(点可除外)可导,且;1.型未定式定理4.5(洛必塔法则)若函数 与 满足条件:(3)或.则或 .解当 时,有 和,这是 型未定式.由罗必达法则例4求 .例5求.解当 时,有 和,这是 型未定式.由罗必达法则练习三利用洛必达法则求下列极限关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.步骤:3.型未定式例6解例7求(型).解(已化为型)例8解步骤:例9求 型.已化
5、为型解例10解极限不存在洛必达法则失效。注意:洛必达法则的使用条件.练习四利用洛必达法则求下列极限.三、小结:洛必达法则
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