第三讲 中值定理、罗必塔法则

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1、第三章中值定理、罗必塔法则、导数的应用一、学习目的与要求1、加深理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒公式。2、会应用中值定理做一些证明题。3、熟练掌握用罗必塔法则求未定式的极限。4、理解函数的极值概念。5、掌握求函数的极值，判断函数的增减性与函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点。6、能描绘函数的图形（包括水平与铅直渐近线）。7、会解较简单的最大值和最小值的应用问题。8、知道曲率及曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。二、学习重点中值定理的应用函数最值的求法及函数图形的描绘三、内容提要1、微分中值定理名称定理简图几何意义罗尔（Rolle）定理若函数满足在闭区间上连续，在开区

2、间内可导，，使得若联结曲线端点的弦是水平的，则曲线上必有一点，该点的切线是水平的。拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，，使得或者（）曲线上总存在一点，该点的切线与连结曲线端点的直线平行。推论1在定理条件下，若则常数推论2若、都满足定理条件，且（c为常数）柯西(Cauchy)定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则使得同上，只是曲线由参数方程（≤≤）462、罗必达法则（L’Hospital）类型条件结论型与型设当时与均为无穷小（或均为无穷大），且存在，使、在内可微且注1将结论中的换成或，且其它条件亦作相应变动，结论仍成立。注2其它未定型转化为型型的形

3、式。3、泰勒（Taylor）定理设函数在含的某开区间内具有直至阶导数，则有其中在与之间，称为在处的拉格朗日余项。特别，在上式中令,得此公式称为麦克劳林公式称为带有皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式称为带皮亚诺余项的麦克劳林公式注在学习过程中应注意上述四个定理之间的关系4、函数的性质（I）单调性定理设在[]上连续，在（）内可微。46（i）在[]上单调增（单调减）的充要条件是在（）内。（ii）在[]上严格单调增（严格单调减）的充要条件是在（）内，且使=0的点不充满（）的任何子区间。（II）极值（1）极值的概念设在点及其邻域有定义，对于充分接近的所有,若<则称函数在=处取得极大值；若>，则称函数

4、在=处取得极小值。函数的极大值和极小值统称为函数的极值;使取得极值的点称为函数的极值点。若函数在点处可微，且，则称点为函数的稳定点（驻点）。（2）基本定理定理1（必要条件）一个函数只能在它的稳定点及不可微点处取得极值。定理2（第一判定定理）设函数在点处连续，在的附近可微（点可除外），当点渐增经过点时，的符号由正（负）变负（正），则在点处取得极大（小）值。定理3（第二判定定理）设函数在点处具有二阶导数，且，，则当（）时函数在点处取得极大值（极小值）。（III）函数最大值、最小值的求法因为由闭区间上连续函数性质知：在闭区间[]上连续的函数在该区间上必有最大值和最小值。所以若在[]上可微，则可用

5、下面的方法求出它的最大值和最小值：先由极值的判定定理，求出函数的极值点，然后比较函数在所有极值点处的值与函数的区间端点的值，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。46若所考虑的区间为开区间或无穷区间，只要有办法断定最大值（最小值）是存在的，那么从所有极大值（极小值）中选取最大（最小）的就是最大值（最小值）。特别地，若在开区间内只有一个驻点时，最大值（最小值）则就在这个驻点处取得。（IV）函数的凸性及曲线的拐点定义1若连续曲线上任意两点的弦恒在曲线段的上侧（下侧），则称为下凸（上凸）函数，简称凸（凹）函数，而称曲线为下凸（上凸）曲线。若对于任给与有则称为在[]上的凸函数，若将上式中的“≤”

6、换成“<”，则相应地改称为“凸函数”为“严格凸函数”。若为凸（严格凸）函数，则称为凹（严格凹）函数。定义2连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点。定理设在（）内二次可微，在[]上连续（i）在[]上的凸（凹）函数的充要条件是在（）内（）（ii）在[]上严格凸（凹）的充要条件是在（）内（），且使的点不充满（）的任何子区间。（V）曲线的渐近线定义当曲线无限伸展时，若曲线上的点与某一直线的距离趋于0，则称该直线为曲线的渐近线。渐近线的求法：铅直渐近线若对于，有，则就是的铅直渐近线。水平渐近线若，则为的水平渐近线。斜渐近线若都存在，则的斜渐近线。（VI）曲线的曲率设为曲线上一点，为曲线上异于的任一点

7、，弧的长记为，过与的两切线间的夹角为，当46沿曲线趋近于时，（即0时）若存在，则称这个极限为曲线在点的曲率，记为，即;而称为曲线在点的曲率半径。在曲线凹方的一侧，半径为曲率半径的圆称为曲率圆，其圆心称为曲率中心。曲率的计算公式：若曲线的方程为，则曲线在点（）处的曲率为曲率中心为若曲线的方程为则曲线在（）处的曲率为.（VII）函数的作图步骤：第一步，求出函数的定义域；第二步，考察函数的奇、偶性，周期性；第三步，求出方程的根