微分几何24直纹面与可展曲面

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1、第四节直纹面与可展曲面1、定义：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。直线为直母线。例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等。与直纹面上所有直母线相交的曲线叫直纹面的导线。2、直纹面的方程（1）设导线为，是过导线上一点处的直母线上的单位向量，则有：其中直纹面上一点P到导线上的点的距离为v。（2）坐标曲线v-曲线，为直母线；u-曲线，为与导线平行的曲线。4、1直纹面(3)几种特殊的直纹面为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。为常向量，任意母线过一定点，为锥面。为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面3、直纹面的法

2、向量与高斯曲率（1）由得（2）当P点在直纹面的一条直母线上移动时，u不变，v变，法向量变化如下：a)，法向量改变方向.b)，法向量不改变方向，即沿一条直母线有相同的法向量或切平面。（3）高斯曲率由因此对于情形a)有，K<0。b)有，K=0。另外注意到直纹面上有直线，即直母线，则一定是直纹面的渐近线，即直纹面上的渐近曲线。4、腰曲线定义:如图M，为直母线l,的公垂线，当垂足M沿直母线l趋向于极限位置M0，称为直母线l上的腰点。腰点的轨迹为腰曲线。它的表示为特别地，当取腰曲线为导线时，上式中的向径就是，因此

3、有，即它们垂直。二、可展曲面1、定义：称满足的直纹面为可展曲面。由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿一条直母线有同一个切平面的直纹面。2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。证明：对于可展曲面有，取腰曲线为导线，（1）当，这时腰曲线退化成一点，所有直母线上的腰点为同一点，曲面为锥面。腰点即为锥面的顶点。方程为（2），由于，则三向量共面，且（3）为常向量，所有直母线平行，为柱面。3、单参数曲面族的包络给

4、出一个单参数曲面族…………（1）对于不同的参数有不同的曲面，并假定函数（1）有一阶和二阶连续偏导数。（1）定义：如果有一曲面S，它的每一点是族（1）中的一个曲面上的点，而且在S与的公共点它们有相同的切平面；反过来，对于族中的每一曲面，在曲面S上有一点P，使和S在P有相同的切平面，则称S为单参数平面族的包络。（2）包络面的方程现在假定曲面族{}的包络S存在，由上面的定义，S上任意点P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而这个曲面由参数来确定，所以包络面S上每一点对应于的一个确定的值，因此为S上点的坐标的函数

5、，即代入（1）得…………(2)对于S上的点，上式恒成立。其次，在包络面S上任取一条曲线因为（c）上的点的坐标满足方程，所以对t求导得：……（3）在（c）上取一点，由于S和在P有相同的切平面，所以（c）在P的切线与在P的法线垂直，而切向量平行于对包络面上的每条曲线都成立，由（c）的任意性有，否则，因此，即由上面的分析，曲面族的包络面满足方程组……（4）消去参数得关于x,y,z的三元方程，它表示一张曲面称为曲面族的判别曲面。若假定在族中的曲面上的点和在包络面上的点是正常点，则判别曲面就是包络面S，这一点后面

6、说明，先看一个例：例题：求平面族的包络面方程。下面说明判别曲面就是S。首先可以这样理解：对每一固定的，方程组（4）代表曲面和曲面的交线，而判别曲面是这些交线所产生的，因此，上的每一点决定一个的值，而点的坐标以及所对应的值适合（4），但上面已经得到包络S上的每一点和它所对应的值适合（4），因此S属于。再证属于S。由于判别曲面上每一点都在族中某一曲面上，因此它的坐标对的某个值满足方程在判别曲面上取一条过P点的曲线（c）：代入（4）式第一式中，然后关于t求导，则有但由（4）第二式，所以即P点的法线和上曲线（c

7、）的切向量垂直，由（c）的任意性，与在P点相切，这就说明了的点也是的点。因此，属于S。所以(3)特征线包络S与族中的曲面相切的曲线称为特征线，因而当固定时，（4）为特征线的方程，特征线的轨迹就是包络，族中每曲面沿特征线切于包络。（4）命题2：一曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单参数平面族的包络。证明：充分性：设单参数平面族为则特征线方程为它是平面与平面的交线，即为直线，所以这些特征线的轨迹为直纹面，即包络面为直纹面，下证是可展的。由于包络面沿特征线（现为直母线）与族中曲面（平面）相切，所以此平面是直母

8、线上所有点的公共切平面，即沿一条直母线有同一个切平面，按可展曲面的定义，它是可展的。必要性：设曲面可展。由于直纹面的坐标曲线为直母线和与导线平行的曲线，所以对于可展曲面，它的直母线就是v线（u=常数），当u变化时，得到v线族，所以可展曲面可以看成是由单参数u的直母线族所构成的，即可展曲面的直母线族仅与单参数有关，而且经过给定的母线，可引唯一的切平面，因此所有切于可展曲面的切平面也只与一个参数有关，这就是说可展曲面在它每一点处切于它的单参数平