《λ─矩阵的标准形》PPT课件

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1、一、λ－矩阵的初等变换二、λ－矩阵的初等矩阵§8.2λ─矩阵的标准形三、等价λ－矩阵四、λ－矩阵的对角化§8.2λ─矩阵的标准形λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换:①矩阵两行（列）互换位置；②矩阵的某一行（列）乘以非零常数c；是一个多项式.③矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，一、λ－矩阵的初等变换定义：§8.2λ─矩阵的标准形代表第行乘以非零数c；代表把第行(列)的倍加到第为了书写的方便，我们采用以下记号代表两行(列)互换；注：行(列).§8.2λ─矩阵的标准形将单位矩阵进行一次―矩阵的初等变换所得的矩阵称为―矩阵的初等矩阵.二、λ－矩阵的初等矩阵定义：注：①全部

2、初等矩阵有三类：i行j行§8.2λ─矩阵的标准形i行j行i行§8.2λ─矩阵的标准形②初等矩阵皆可逆.③对一个的―矩阵作一次初等行变换就相当于在在的左边乘上相应的的初等矩阵；对作一次初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.§8.2λ─矩阵的标准形为　－矩阵，则称与等价.―矩阵　　若能经过一系列初等变换化1)―矩阵的等价关系具有:反身性:与自身等价.对称性:与等价与等价.传递性:与等价,与等价与等价.三、等价λ－矩阵定义：性质：§8.2λ─矩阵的标准形2)与等价存在一系列初等矩阵使1.（引理）设―矩阵的左上角元素且中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一

3、个与等价的矩阵，它的左上角元素，且.四、λ－矩阵的对角化§8.2λ─矩阵的标准形证：根据中不能被除尽的元素所在的位置，分三种情形来讨论:i)若在的第一列中有一个元素不能被除尽，其中余式，且对作下列初等行变换:则有§8.2λ─矩阵的标准形的左上角元素符合引理的要求，故　　为所求的矩阵.ii)在的第一行中有一个元素不能被除尽，这种情况的证明i)与类似.iii)的第一行与第一列中的元素都可以被除尽，但中有另一个元素§8.2λ─矩阵的标准形被除尽.对作下述初等行变换:我们设§8.2λ─矩阵的标准形矩阵　　的第一行中，有一个元素：不能被左上角元素除尽，转为情形ii).证毕.§8

4、.2λ─矩阵的标准形2.（定理2）任意一个非零的的一矩阵都等价于下列形式的矩阵其中是首项系数为1的多项式，且称之为的标准形.§8.2λ─矩阵的标准形证:经行列调动之后，可使的左上角元素若不能除尽的全部元素，由引理，可以找到与等价的，且由引理，又可以找到与等价的　　，且如此下去，将得到一系列彼此等价的λ－矩阵：左上角元素，若还不能除尽的全部元素，左上角元素，§8.2λ─矩阵的标准形但次数是非负整数，不可能无止境地降低.因此在有限步以后，将终止于一个λ－矩阵它的左上角元素，而且可以除尽的全部元素　即对作初等变换:它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低.§8.2λ─矩阵的

5、标准形中的全部元素都是可以被　除尽的，因为它们都是　中元素的组合.如果，则对于可以重复上述过程，进而把矩阵化成§8.2λ─矩阵的标准形其中与都是首1多项式(与只差一个常数倍数），而且能除尽的全部元素.如此下去，最后就化成了标准形.§8.2λ─矩阵的标准形例用初等变换化λ―矩阵为标准形.解：§8.2λ─矩阵的标准形§8.2λ─矩阵的标准形即为　　的标准形.§8.2λ─矩阵的标准形