常数项级数审敛法(V)

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1、§11.2常数项级数审敛法在级数的研究中,一个重要问题是判定级数的敛散性.如果级数是收敛的,则可根据其收敛的性质,研究它所满足的运算性质,并设法求出它的和或和的近似值,但是除了少数几类特殊的级数,在一般情况下,直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的,因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行,这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性,这些方法称为级数的审敛法.常数项级数将分正项级数和任意项级数来讨论.而正项级数在常数项级数中有特殊的地位.一、正项级数及其审敛法这种级数非常重要,以后会看到许多级数的敛

2、散性判定问题都可归结为正项级数的审敛性问题.2.正项级数收敛的充要条件:对于正项级数即,正项级数的部分和数列{sn}为单调增加数列.中的各项均有un0,则称这1.定义:如果级数种级数为正项级数.由于un0,则其部分和数列{sn}满足:定理:正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列{sn}有界.即,部分和数列{sn}有界.unvn(n=1,2,···).若收敛,则收敛;反之,若发散,则发散.为两个正项级数,且设3.比较审敛法:证明:(1)设由于unvn(n=1,2,···).则所以收敛.(2)由于

3、sn→(n→),且unvn(n=1,2,···).则nsn→(n→),即{n}不是有界数列,所以发散.证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.当nN时,有unkvn.若推论:为两个正项级数,若存在N>0,设收敛,则若发散,则发散.收敛;反之,解:当p1时,npn,所以例1:讨论p-级数的收敛性(p>0).则由调和级数的发散性知:p-级数发散.当p>1时,由图可知即{sn}有界,则p-级数收敛.重要参考级数:等比级数,p-级数,调和级数.证明:因为例2:证明级数是发散的.而级数发散,

4、所以级数发散.比较审敛法是一基本方法,虽然有用,但应用起来却有许多不便.因为它需要建立定理所要求的不等式,而这种不等式常常不易建立,为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法.4.比较审敛法的极限形式:为两个正项级数,如果设则:(1)当00,由比较审敛法的推论,得证.当n>N时,有即证明(2):由对于=1,N>0,当n>N时,有即0

5、3):由则类似(2)的证明有:01时级数发散;当=1时失效.证明:当为有限数时,对>0,N>0,当n>N时,有即当<1时,取<1–,使得r=+<1,uN+2

6、数收敛,收敛.则级数故原级数收敛.当>1时,取<–1,使得r=–>1,当n>N时,故数列{un}严格单调增加的,所以有故原级数发散.当=1时,比值审敛法失效:例如级数和两者使用比值审敛法的极限值都有=1,但前者发散后者收敛.un+1>run>un,需要特别注意的是:后项比前项的极限必须存在或为,否则无法判定.比值审敛法的优点:不必寻找参考级数,直接从级数本身的构成——即通项(后项比前项的极限)来判定其敛散性.例如:所以,级数收敛.不存在,无法判定.但例4:判别下列级数的收敛性:(2)由于

7、解:(1)由于(3)由于比值审敛法失效,改用比较审敛法.因为而级数收敛,故级数收敛.还可以用极限审敛法.故级数收敛.解:由于不存在,比值审敛法失效.例5:判定级数的敛散性.而由比值审敛法知级数收敛,故由比较审敛法知级数收敛.例6:判定级数的敛散性.解:由于由比值审敛法得:当xe时,级数发散;当x=e时,检比法失效.即后项大于前项,即un+1>un,故级数发散.由于为正项级数,如果设则当<1时级数收敛;当>1时级数发散;当=1时失效.7.根值审敛法(柯西判别法)证明:当为有

8、限数时,对>0,N>0,当n>N时,有即当<1时,取<1–,使得r=+<1,由收敛及比较审敛法得收敛,则即收敛.则当>1时,取<–1,使得r=–>1,则即发散.则故当=1时,不能判定.但收敛,发散.如都有例7:判定级数的敛散性.解:由于收敛.故级数二、交错级数及其审敛法定义:正,负项相间的级数称为交错级数.莱布尼茨定理:如果交错级数满足条件:(i)unun+1(n=1,2,···);(ii)则级数收敛,且其和s