常微分方程45常系数非齐线性方程组

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1、考虑常系数非齐次线性微分方程组4.5常系数非齐次线性微分方程组其对应的齐次线性微分方程组为维列向量这里是实常数矩阵,是函数.解的结构:非齐次方程组的通解为对应齐次方程组通解与非齐次方程组的一个特解之和.1一、常数变易法方程组的基解矩阵:因此常系数非齐次方程组的通解为这里c为任意常数列向量.方程组满足初始条件的解为2例4.5.1利用常数变易法求解初值问题特征根解:首先,我们求矩阵的矩阵指数特征方程对有特征向量对应的齐次方程组的一个解3对有特征向量4齐次方程组的解矩阵又因为故是齐次方程组的基解矩阵,且因此5原方程的特解为6二、线性变换法对一些特殊的方程组,如方程组的系数矩阵有个不同的特征向量则系数

2、矩阵可化为对角矩阵其中是的特征根.作线性变换其中把方程组化为7注意到这是个相互独立的方程这里故可以直接求出它的解再利用变换即可求得原方程的解.8解:系数矩阵的特征方程为例4.5.2求方程组的通解.因此矩阵有特征根9对有特征向量对有特征向量因此,矩阵及其逆矩阵分别为设则原方程化为10则原方程组的通解为11三、待定系数法同n阶常系数非齐次线性方程一样,某些常系数非齐次线性方程组也可以用待定系数法求其特解,如方程组组中为多项式与指数函数的乘积时就可以用待定系数法来求其通解.12解:系数矩阵的特征方程为例4.5.3求方程组的一个特解.因此矩阵有特征根因为不是特征根，设特解形式为13把代入方程组,得解得

3、从而得原方程的特解为14例4.5.4求方程组的特解.解:系数矩阵的特征方程为有特征根故可设特解形式为15可得代数方程组代入方程组,比较t的同次幂的系数,解方程得选取得原方程组的特解16关于常系数非齐次线性微分方程组的解法,介绍了三种方法,其中常数变易法具有一般性,而线性变换法和待定系数法都具有某种局限性.前面我们还介绍了消元法和首次积分法,这些方法仍然是有效的,举例比较各种方法的优劣.17例4.5.5求方程组解(常数变易法):系数矩阵的特征方程的特征根为的通解.相应的特征向量分别为对应的齐次方程组的基解矩阵及其逆矩阵18非齐次方程组通解19解法2(待定系数法):由解法1知,对应的齐次方程组的通

4、解利用待定系数法求方程组的一个特解.方程组中的可表示为20则方程组可改写为因为不是系数矩阵的特征根,所以特解形式设为这里待定.把代入原方程组得即有比较上式左右两边得同次幂的系数得21求解得因此方程组的特解为故原方程的通解为22解法3(线性变换法):系数矩阵的特征方程的特征根为相应的特征向量分别为由特征向量构成的矩阵及其逆矩阵分别为设则把原方程化为23即解上面的方程得则原方程组的通解为24解法4(消元法):由第一个方程得把方程组改写为将其代入第二个方程得解方程得其通解为代入关于的表达式得所以原方程组通解25作业:P2411(2)，2(1)，3(1)26