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时间:2019-08-01
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1、第5讲定积分及其应用举例1.定积分性质2.微积分基本定理3.常见求定积分的公式区域的面积为()DA.1B.-12C.1或-12D.-1或-12CA165定积分的计算考点1例1:计算下列定积分解题思路:简单的定积分计算只需熟记公式即可.【互动探究】10考点2定积分的应用求平面区域的面积解题思路:因为在[0,π]上,sinx≥0,其图像在x轴上方;在[0,2π]上,sinx≤0其图像在x轴下方,此时定积分为图形面积的相反数,应加绝对值才表示面积.图4-5-1例2:求在[0,2π]上,由x轴及正弦曲线y=sinx围成的图形的面积.解析:作出y=sinx在[0,2π
2、]上的图像如图4-5-1,y=sinx与x轴交于0,π,2π,利用定积分求平面图形的面积应严格按照作图、求交点、确定被积函数和计算定积分的步骤进行.【互动探究】2.由曲线y=x2+2与y=3x,x=0,x=2所围成的平面图形的面积为__.1考点3物理方面的应用解题思路:汽车刹车过程是一个减速运动过程,我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程,计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式.解析:由题意,v0=54(千米/时)=15(米/秒),∴v(t)=v0-at=15-3t,令∴v(t)=0得15-3t=0,t=5,即5秒时,汽车停车.所以
3、汽车由刹车到停车所行驶的路程为例3:汽车以每小时54公里的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等减速度3米/秒刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少公里?答:汽车走了0.0375公里.若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为v=v(t)(v(t)≥0),由定积分的物理意义可知,作变速运动物体在[a,b]时间内的路程s是曲边梯形(如图4-5-2的阴影部图4-5-2【互动探究】3.物体A以速度v=3t2+1在一直线上运动,在此直线上与物体A出发的同时,物体B在物体A的正前方5m处以v=10t的速度与A同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物体A的走过的路程是多
4、少(时间单位为:s,速度单位为:m/s)?错源:计算定积分没有注意分类讨论纠错反思:当被积函数是一个带有绝对值的函数,积分去绝对值符号时,看被积函数在积分区间是否要变号.【互动探究】图4-5-3【互动探究】5.在区间[0,1]上给定曲线y=x2,试在此区间内确定点t的值,使图4-5-4中阴影部分的面积S1与S2之和最小.图4-5-4在恒力作用下,物体沿力的方向移动s,则恒力所作的功为W=fs,当F(x)为变力的,物体在变力F(x)作用下沿x轴作直线运动,物体从x=a移动到x=b,根据定积分概念知变力所作的
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