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1、多元函数的偏导数第八章一、偏导数的概念二、偏导数的计算第二节四、高阶偏导数三、偏导数的几何意义一、偏导数的概念1.引例研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是将中的x固定求于x0处,振幅t的一阶导数与二阶导数.弦线的振动问题.关于2.定义8.6对x的偏导数，记为同样可定义函数f(x,y)在点对y的偏导数注记为注1º偏导函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)偏导数,记为处对x的（或y)偏导数都存在,称该偏导数为若函数z=f(x,y)对自变量x(或y)的偏导函数,也简称为由此可知：2º偏导数的概念可以推广到二元以上函数例如:三元函数u=f(x,
2、y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为(请自己写出)3º可(偏)导4º偏导数是一个整体记号，不能拆分例1求证:证(R为常数),偏导数记号是一个说明:不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,一定量理想气体的状态方程5º3.偏导数存在与连续的关系对于一元函数：可导连续对于多元函数：可（偏）导连续例2证注对于二元函数：可偏导连续xyzo例3解(方法1)其值随k的不同而变化，从而f(x,y)在点(0,0)并不连续!(方法2)注对于二元函数：可偏导连续由偏导数的定义可知,为一元函数的导数计算.偏导数的计算可归结二、偏导数的计算求某个具体的点处的
3、偏导数时方便例4求解(方法1)在点(1,2)处的偏导数.先求后代先代后求(方法2)例5设证求证解例6三、偏导数的几何意义是曲线在点M0处的切线对y轴的斜率.xyzo例7解四、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为例8求函数解注此处但这一结论并不总是成立.的二阶偏导数及问题：二阶混合偏导数一定都相等吗
4、？不一定！例如：二者不等则定理例如,对三元函数u=f(x,y,z),本定理对n元函数的高阶混合偏导数也成立.当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有(证明略)问题：具备怎样的条件，混合偏导数相等？例9证明函数满足拉普拉斯证利用对称性,有方程偏微分方程内容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)解备用题例2-1例5-1解解例5-2例6-1解：
5、故有同理例8-1求下列函数的一阶和二阶偏导数解(2)由例5知例8-2解例9-1解
