第30、31课时 函数模型及其应用

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1、第30、31课时函数模型及其应用教学目标：使学生从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．教学重点：一是实际问题数学化，二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解.教学难点：实际问题数学化.教学过程：［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0

2、.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？　　解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：　　设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．数量（份）价格（元）金额（元）买进300.206x卖出20x＋10×2500.306x＋750退回10（x－250）0.080.8x－200　　则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x

3、＋550（250≤x≤400）．　　y在x［250，400］上是一次函数．　　∴x＝400元时，y取得最大值870元．　　答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．点评：自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．　［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km-13-价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．　　答案：当

4、A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；　　当A、B距离在（a，a＋10）时，选择第二种方案；　　当A、B距离恰好为a＋10时，选择两种方案均可以；　　当A、B距离大于a＋10时，选择第一种方案．（其中a为起步价内汽车行驶的里程）点评：信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．　　［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和　　解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按

5、6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．　［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（　　）　　解析：由于d0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D．　　［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度　　　　　（1－）10·m％　　总结解应用题的策略

6、：一般思路可表示如下：-13-　　因此，解决应用题的一般程序是：　　①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；　　②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；　　③解模：求解数学模型，得出数学结论；　　④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．　　［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少t万件．　　（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；　　（2）若在该项经营

7、中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？　　解析：（1）设每年销售是x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税金为y＝250x·t％．　　依题意，x＝40－t．　　所求的函数关系式为y＝250（40－t）t％．　　（2）依题意，250（40－t）·t％≥600，即t2－25t＋150≤0，　　∴10≤t≤15．即税率应控制在10％～15％之间为宜．注意点：-13-1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．　　2．在实际问题向数

8、学问题的转化过程中，要充