第八章-代数特征值问题

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1、第八章矩阵特征值问题计算工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。但高次多项式求根精度低,一般不作为求解方法.目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法.第八章代数特征值问题第一节特征值的估计和数值稳定性第二节幂法和反幂法第三节求矩阵全部特征值的QR方法定理1设为的特征值,，则（1）为的特征值（为常数);（2）为的特征值，即（3）为的特征值；第一节特征值的估计和数值稳定性定理2（1）设可对角化，即存在非奇异矩阵

2、使的充要条件是具有个线性无关的特征向量.（2）如果有个不同的特征值则对应的特征向量线性无关.而的列向量为的对应于的特征向量.定理3设为对称矩阵，则：（1）的特征值均为实数；（2）有个线性无关的特征向量；（3）存在一个正交矩阵使且为特征值，记称为矩阵的瑞利（Rayleigh）商.定理4设为对称矩阵（其特征值次序记为则证明只证1.由于为实对称矩阵，可将对应的特征向量正交规范化，则有（1.3）设为中任一向量，则有展开式于是从而1成立.结论1说明瑞利商必位于和之间.8.1.2特征值估计与扰动称复平面上以为圆心，以为半径

3、的所有圆盘为的格什戈林（Gerschgorin）圆盘.定义1设.令(1)(2)集合.定理5（格什戈林圆盘定理）（1）设，则的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中（1.4）或者说，的特征值都在复平面上个圆盘的并集中.（2）如果有个圆盘组成一个连通的并集，且与余下个圆盘是分离的，则内恰包含的个特征值.特别地，如果的一个圆盘是与其他圆盘分离的(即孤立圆盘)，则中精确地包含的一个特征值.证明只就(1)给出证明.设为的特征值，即记考虑的第个方程，即或于是即这说明，的每一个特征值必位于的一个圆盘中，并且相应的特征值一定位于第

4、个圆盘中.其中是对应特征向量绝对值最大的分量的下标.利用相似矩阵性质，有时可以获得的特征值进一步的估计，即适当选取非奇异对角阵并做相似变换.适当选取可使某些圆盘半径及连通性发生变化.例1估计矩阵特征值的范围.解的3个圆盘为由定理5，可知的3个特征值位于3个圆盘的并集中，由于是孤立圆盘，所以内恰好包含的一个特征值（为实特征值），即的其他两个特征值包含在的并集中.现选取对角阵做相似变换的3个圆盘为这样，3个圆盘都成为了孤立圆盘，每一个圆盘都包含的一个特征值（为实特征值）且有估计下面讨论当有扰动时产生的特征值扰动，即

5、有微小变化时特征值的敏感性.定理6（Bauer-Fike定理）设是的一个特征值，且则有其中为矩阵的范数，证明只要考虑.这时非奇异，设是对应于的特征向量，由左乘可得（1.5）是非零向量.上式两边取范数有而对角矩阵的范数为所以有这就得到（1.5）式.这时总有中的一个取到值.由定理6可知是特征值扰动的放大系数，但将对角化的相似变换矩阵不是唯一的，所以取的下确界（1.6）称为特征值问题的条件数.只要不很大，矩阵微小扰动只带来特征值的微小扰动.但是难以计算，有时只对一个，用代替.特征值问题的条件数和解线性方程组的条件数是

6、两个不同的概念，对于一个矩阵，两者可能一大一小.关于计算矩阵的特征值问题，当时，还可以按行列式展开的方法求特征方程的根.但当较大时，如果按展开行列式的方法，首先求出的系数，再求的根，工作量就很大，用这种方法求特征值是不切实际的,需要研究求的特征值及特征向量的数值方法.第二节幂法和反幂法一、幂法求矩阵的按模最大的特征值（主特征值）与相应的特征向量。它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。是归一化的向量，所以两种特殊情况幂法小结二、幂法的加速因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值,当比值接近于1时，

7、幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍两种。三、反幂法反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。反幂法的一个应用