第5章 控制系统的频域分析法 1(48)

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1、第五章控制系统的频域分析法频率特性法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法。与时域分析法和根轨迹法不同。频率特性法不是根据系统的闭环极点和零点来分析系统的时域性能指标，而是根据系统对正弦信号的稳态响应，即系统的频率特性来分析系统的频域性能指标。因此，从某种意义上讲，频率特性法与时域分析法和根轨迹法有着本质的不同。频率特性虽然是系统对正弦信号的稳态响应，但它不仅能反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性和动态性能。1频域性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系。通过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能

2、指标或反之。因此，频率特性法与时域分析法和根轨迹法又是统一的。应用时域分析法和根轨迹法分析系统时，应先知道系统的开环传递函数，而频率特性法既可以根据系统的开环传递函数采用解析的方法得到系统的频率特性，也可以用实验的方法测出稳定系统或元件的频率特性。2本章将介绍频率特性的基本概念，典型环节和系统的频率特性的极坐标图和伯德图，奈奎斯特稳定判据和频域性能指标与时域性能指标之间的关系等。实验法对于那些不知道其内部结构和传递函数的系统，或难于用分析方法列写动态方程的系统或环节是很有用的。3第五章线性系统的频域分析5-1频率特性的基本概念5-2

3、典型环节的频率特性5-3开环频率特性分析5-4频域稳定性判据5-5控制系统的相对稳定性5-6闭环频率特性5-7频域响应和时域响应之间的关系45-1频率特性的基本概念讨论线性定常系统（包括开环、闭环系统）在正弦输入信号作用下的稳态输出。设图5-1所示的线性定常系统的传递函数为:其输入信号为:5系统的传递函数通常可以写成:由此得到输出信号的拉氏变换:则输入信号的拉氏变换是:6对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为:对稳定系统,s1,s2,….sn都具有负实部，当时间t趋于无穷大时，上式的暂态分量将衰减至零。因此系统的稳态响应为:其中待定系

4、数b和可按下式计算:(5-6)(5-7)(5-8)(5-9)7G(jω)是一个复数，用模和幅角可表示为:同样，G(-jω)可以表示为:将式(5-8)(5-9）以及式(5-10)(5-12)代入式(5-7)可得:8或:称为系统的频率特性，它反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。式中:为稳态输出信号的幅值。上式表明，线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应仍然是与正弦输入信号同频率的正弦信号；输出信号的振幅是输入信号振幅的

5、G(jw)

6、倍；输出信号相对输入信号的相移为；输出信号的振幅及相移都是角频率的函数。9其中:

7、称为系统的幅频特性，它反映系统在不同频率正弦信号作用下，输出稳态幅值与输入信号幅值的比值，即系统的放大（或衰减）特性。称为系统的相频特性，它反映系统在不同频率正弦信号的作用下，输出信号相对输入信号的相移。系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。(5-16)(5-17)10获取系统频率特性的途径有两个:一、解析法当已知系统的传递函数时，用代入传递函数可得到系统的频率特性G(jω)。因此，频率特性是特定情况下的传递函数。它和传递函数一样，反映了系统的内在联系。这种通过传递函数确定频率特性的方法是求取频率特性的解析法。二、实验法当系

8、统已经建立，尚不知道其内部结构或传递函数时，在系统的输入端输入一正弦信号X(t)=XSinωt，测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和相移φ，便可得到它的幅频特性和相频特性。这种通过实验确定系统频率特性的方法是求取频率特性的实验法。11自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特性，可划分成几种典型环节。本节将介绍典型环节频率特性的绘制方法，主要介绍应用较为广泛的极坐标图和伯德图。一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图）以角频率ω为参变量，根据系统的幅频特性和相频特性在复平面上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率特性的极坐标图。它

9、是当角频率ω从0到无穷变化时，矢量的矢端[GH]在平面上描绘出的曲线。曲线是关于实轴对称的。5-2典型环节的频率特性12放大环节的传递函数为:其对应的频率特性是:其幅频特性和相频特性分别为:频率特性如图5-2所示。由图5-2可看出放大环节的幅频特性为常数K，相频特性等于零度，它们都与频率无关。理想的放大环节能够无失真和无滞后地复现输入信号。（一）放大环节（比例环节）13（二）积分环节积分环节的传递函数为:(5-22)其对应的频率特性是:(5-23)幅频特性和相频特性分别为:频率特性如图5-3所示。由图可看出，积分环节的相频特性等于-

10、900，与角频率ω无关.图5-3积分环节的频率响应14（三）惯性环节惯性环节的传递函数为:其对应的频率特性是:幅频特性和相频特性分别是:表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用；其幅频特性等于1/ω，是ω的函数，当ω由零变到无穷大