二、线性变换的简单性质

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时间:2019-07-26

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1、二、线性变换的简单性质§5对角矩阵一、可对角化的概念二、可对角化的条件三、对角化的一般方法定义1:设是维线性空间V的一个线性变换,如果存在V的一个基,使在这组基下的矩阵为对角矩阵,则称线性变换 可对角化.矩阵,则称矩阵A可对角化.定义2:矩阵A是数域上的一个级方阵.如果存在一个上的级可逆矩阵,使为对角一、可对角化的概念则可对角化 有个线性无关的特征向量.定理1设为维线性空间V的一个线性变换,二、可对角化的条件是对角矩阵(即D不可对角化).项式.并证明:D在任何一组基下的矩阵都不可能例在     中,求微分变换

2、D的特征多解:在  中取一组基:则D在这组基下的矩阵为于是D的特征多项式为∴D的特征值为0(n重).的系数矩阵的秩为n-1,从而方程组的基础解系故D不可对角化.又由于对应特征值0的齐次线性方程组只含有一个向量,它小于  的维数n(>1).设 是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,是的一个特征值,是的关于特征子空间.证明的维数不大于的重数。命题定理2设为n维线性空间V的一个线性变换,如果分别是的属于互不相同的特征值的特征向量,则线性无关.推论2在复数域C上的线性空间中,推论1设 为n维线性空间V的一个线性变换

3、,则可对角化.如果线性变换的特征多项式没有重根,则可如果的特征多项式在数域P中有n个不同特征值,对角化.特征值的线性无关的特征向量,则向量 线性无关.定理9设 为线性空间V的一个线性变换,是的不同特征值,而是属于定理10设 为n维线性空间V的一个线性变换,为全部不同的特征值,则 可对角化为 的特征子空间.三、对角化的一般方法1°求出矩阵A的全部特征值2°对每一个特征值 ,求出齐次线性方程组设为维线性空间V的一个线性变换,为V的一组基, 在这组基下的矩阵为A.步骤:的一个基础解系(此即 的属于的全部线性无关的特

4、征向量在基     下的坐标).3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n,则(或矩阵A)可对角化.以这些基础解系为列,作一个n阶方阵T,则T可逆,是对角矩阵.而且有n个线性无关的特征向量      从而T就是基     到基     的过渡矩阵.下的矩阵为基变换的过渡矩阵.问是否可对角化.在可对角化的情况下,写出例1.设复数域上线性空间V的线性变换在某组基解:A的特征多项式为得A的特征值是1、1、-1.解齐次线性方程组得故其基础解系为:所以,是 的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.再解齐次线性方程组 得故

5、其基础解系为:所以,是的属于特征值-1的线性无关的特征向量.线性无关,故可对角化,且在基下的矩阵为对角矩阵即基到    的过渡矩阵为例2.问A是否可对角化?若可,求可逆矩阵T,使为以角矩阵.这里得A的特征值是2、2、-4.解:A的特征多项式为对于特征值2,求出齐次线性方程组对于特征值-4,求出齐次方程组的一个基础解系:(-2、1、0),(1、0、1)的一个基础解系:令则所以A可对角化.

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