二、线性变换的简单性质

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1、二、线性变换的简单性质§5对角矩阵一、可对角化的概念二、可对角化的条件三、对角化的一般方法定义1：设是维线性空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换　可对角化.矩阵，则称矩阵A可对角化.定义2：矩阵A是数域上的一个级方阵.如果存在一个上的级可逆矩阵，使为对角一、可对角化的概念则可对角化　有个线性无关的特征向量.定理1设为维线性空间V的一个线性变换，二、可对角化的条件是对角矩阵（即D不可对角化）.项式.并证明：D在任何一组基下的矩阵都不可能例在　　　　　中,求微分变换

2、D的特征多解：在　　中取一组基：则D在这组基下的矩阵为于是D的特征多项式为∴D的特征值为0（n重）.的系数矩阵的秩为n－1，从而方程组的基础解系故D不可对角化.又由于对应特征值0的齐次线性方程组只含有一个向量，它小于　　的维数n（＞1）.设　是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，是的一个特征值，是的关于特征子空间.证明的维数不大于的重数。命题定理2设为n维线性空间V的一个线性变换,如果分别是的属于互不相同的特征值的特征向量，则线性无关.推论2在复数域C上的线性空间中，推论1设　为n维线性空间V的一个线性变换

3、，则可对角化.如果线性变换的特征多项式没有重根，则可如果的特征多项式在数域P中有n个不同特征值，对角化.特征值的线性无关的特征向量，则向量　线性无关.定理9设　为线性空间V的一个线性变换，是的不同特征值，而是属于定理10设　为n维线性空间V的一个线性变换，为全部不同的特征值，则　可对角化为　的特征子空间.三、对角化的一般方法1°求出矩阵A的全部特征值2°对每一个特征值　，求出齐次线性方程组设为维线性空间V的一个线性变换，为V的一组基，　在这组基下的矩阵为A.步骤:的一个基础解系（此即　的属于的全部线性无关的特

4、征向量在基　　　　　下的坐标）.3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n，则（或矩阵A）可对角化.以这些基础解系为列，作一个n阶方阵T，则T可逆，是对角矩阵.而且有n个线性无关的特征向量　　　　　　从而T就是基　　　　　到基　　　　　的过渡矩阵.下的矩阵为基变换的过渡矩阵.问是否可对角化.在可对角化的情况下，写出例1.设复数域上线性空间V的线性变换在某组基解：A的特征多项式为得A的特征值是1、1、－1.解齐次线性方程组得故其基础解系为：所以，是　的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.再解齐次线性方程组　得故

5、其基础解系为：所以，是的属于特征值－1的线性无关的特征向量.线性无关，故可对角化，且在基下的矩阵为对角矩阵即基到　　　　的过渡矩阵为例2.问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使为以角矩阵.这里得A的特征值是2、2、-4.解:A的特征多项式为对于特征值2，求出齐次线性方程组对于特征值－4，求出齐次方程组的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）的一个基础解系:令则所以A可对角化.