数值计算方法-第6章解线性方程组的迭代法

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1、第6章解线性方程组的迭代法直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出，它们的计算量都是n3数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的时候还比较合适（n<400），但是对于现在的很多实际问题，往往要我们求解很大的n的矩阵，而且这些矩阵往往是系数矩阵就是这些矩阵含有大量的0元素。对于这类的矩阵，在用直接法时就会耗费大量的时间和存储单元。因此我们有必要引入一类新的方法：迭代法。迭代法具有的特点是速度快。与非线性方程的迭代方法一样，需要我们构造一个等价的方程，从而构造一个收敛序列，序列的极限值就是方程组的根对方程组做等价变换如：令，则则，我们可以构造序列若同时：

2、所以，序列收敛与初值的选取无关定义6.1：（收敛矩阵）定理：矩阵G为收敛矩阵，当且仅当G的谱半径<1由知，若有某种范数则，迭代收敛6.1Jacobi迭代格式很简单：Jacobi迭代算法1、输入系数矩阵A和向量b，和误差控制eps2、x1={0,0,…..,0},x2={1,1,…..,1}//赋初值3、while(

3、

4、A*x2-b

5、

6、>eps){x1=x2;for(i=0;i

7、}x2[i]=-(x2[i]-b[i])/A[i][i]}}4、输出解x2迭代矩阵记易知，Jacobi迭代有收敛条件迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径<1。对于Jacobi迭代，我们有一些保证收敛的充分条件定理：若A满足下列条件之一，则Jacobi迭代收敛。①A为行对角占优阵②A为列对角占优阵③A满足证明：②A为列对角占优阵，则AT为行对角占优阵，有＃证毕6.2Gauss－Seidel迭代在Jacobi迭代中，使用最新计算出的分量值Gauss-Siedel迭代算法1、输入系数矩阵A和向量b，和误差控制eps2、x2={1,1,…..,1}//赋初值3、whi

8、le(

9、

10、A*x2-b

11、

12、>eps){for(i=0;i

13、＃证毕注：二种方法都存在收敛性问题。有例子表明：Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛；而Jacobi法收敛时，Gauss-Seidel法也可能不收敛。1、预处理2、格式3、结果1、Jacobi迭代特征值为2、Gauss－Siedel迭代6.3松弛迭代记则可以看作在前一步上加一个修正量。若在修正量前乘以一个因子，有对Gauss－Seidel迭代格式写成分量形式，有松弛迭代算法1、输入系数矩阵A、向量b和松弛因子omega，和误差控制eps2、x2={1,1,…..,1}//赋初值3、while(

14、

15、A*x2-b

16、

17、>eps){for(i=

18、0;i

19、确定较好的松弛因子.经验上可取1.4<<1.6.定理若SOR方法收敛,则0<<2.证设SOR方法收敛,则(£)<1,所以

20、det(£)

21、=

22、12…n

23、<1而det(£)=det[(D-L)-1((1-)D+U)]=det[(E-D-1L)-1]det[(1-)E+D-1U)]=(1-)n于是

24、1-

25、<1,或0<<2定理设A是对称正定矩阵,则解方程组Ax=b的SOR方法,当0<<2时收敛.证设是£的任一特征值,y是对应的特征向量,则[(1-)D+U]y=(D-L)y于是(1-)(Dy,y)+(Uy,y)=

26、[(Dy,y)-(Ly,y)]由于A=D-L-U是