数值计算_第4章 解线性方程组的迭代法

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1、第4章 解线性方程组的迭代法　　用迭代法求解线性方程组与第4章非线性方程求根的方法相似，对方程组进行等价变换，构造同解方程组(对可构造各种等价方程组，如分解，可逆，则由得到)，以此构造迭代关系式　　　　　　　　　　    　          　（4.1）　　任取初始向量，代入迭代式中，经计算得到迭代序列。　　若迭代序列收敛，设的极限为，对迭代式两边取极限　　即是方程组的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。我们将看到，不同于非线性方程的迭代方法，解线性方程组的迭代收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质，与迭代初始值的选取无关。迭代法的优点是占有存储空

2、间少，程序实现简单，尤其适用于大型稀疏矩阵；不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。　　可以证明迭代矩阵的与谱半径是迭代收敛的充分必要条件，其中是矩阵的特征根。事实上，若为方程组的解，则有　　再由迭代式可得到　　　　由线性代数定理，的充分必要条件。　　因此对迭代法(4.1)的收敛性有以下两个定理成立。　　定理4.1迭代法收敛的充要条件是。　　定理4.2迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径　　因此，称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径，需要求解矩阵的特征值才能得到，通常这是较为繁重的工作。但是可以通过计算矩阵的范数等方法简

3、化判断收敛的工作。前面已经提到过，若

4、

5、A

6、

7、p矩阵的范数，则总有。因此，若，则必为收敛矩阵。计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单，其中　　于是，只要迭代矩阵满足或，就可以判断迭代序列是收敛的。　　要注意的是，当或时，可以有，因此不能判断迭代序列发散。　　在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时，则停止迭代计算，视为方程组的近似解（有关范数的详细定义请看3.3节。）4.1　雅可比（Jacobi）迭代法　　4.1.1雅可比迭代格式　　雅可比迭代计算　　元线性方程组　　　　　                 （4.2）　　写成矩阵形式为。若

8、将式（4.2）中每个方程的留在方程左边，其余各项移到方程右边；方程两边除以则得到下列同解方程组：　　记，构造迭代形式　　　　或　　　　   　  （4.3）　　迭代计算式（4.3）称为简单迭代或雅可比迭代。任取初始向量，由式（4.3）可得到迭代向量序列　　雅可比迭代矩阵　　设　　由，得到等价方程：　　记　　不难看出，正是迭代式（4.3）的迭代矩阵，是常数项向量。于是式（4.3）可写成矩阵形式：　　　　　　　　　　　                 （4.4）　　其中：　　　　雅可比迭代算法　　下面描述解线性方程组的雅可比迭代算法，为了简单起见，在算

9、法中假定矩阵满足雅可比迭代要求，即，并设由系数矩阵构造迭代矩阵是收敛的。　　1．定义和输入系数矩阵与常数项向量的元素。　　2．FORi：=1，2，…，n　　　　{   //假定，形成常数项向量　　           FORj:=1,2,…,n　　              　　        　　}             //形成迭代矩阵元素　　3．　　                 //赋初始值，x1和x2分别表示和　　4．WHILE   　　    x1:=x2　　    x2:=B*x1+g   // FOR u:=1,2,…,n　　 

10、                 //    s:=g[u];　　                  //  FORv:=1,2,…,n  s:=s+b[u][v]*x1[v];　　                  //    x2[u]:=s；　　 ENDWHILE　　5．输出方程组的解　　例4.1用雅可比方法解下列方程组：　　解：方程的迭代格式： 　　或 　　雅可比迭代收敛。　　取初始值，计算结果由表4.1所示。表4.1计算结果0　　1　　1　　1 1　　-1.5　　1.6　　0.9　　0.252　　-1.25　　2.08　　1.09　　0.

11、483　　-0.915　　2.068　　1.017　　0.3354　　-0.9575　　1.9864　　0.9847　　0.08165　　-1.01445　　1.98844　　0.99711　　0.056956　　-1.00722　　2.00231　　1.0026　　0.013877　　-0.997543　　2.00197　　1.00049　　0.009687　　方程组的准确解是　　4.1.2雅可比迭代收敛条件　　对于方程组，构造雅可比迭代格式其中，。当迭代矩阵的谱半径时，迭代收敛，这是收敛的充分必要条件。迭代矩阵的某范数时，迭代收敛。要注意的是范

12、数小于1只是判断迭代矩阵收敛的充分条件，当迭代矩阵的一种范数

13、

14、B

15、

16、>1，并不能确定迭代矩阵是收敛还是发散。例如，，则，