张量分析(本科课程)

《张量分析(本科课程)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一节问题的提出第二节矢量的基本运算第三节坐标变换及张量的定义自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便分析，但也掩盖了物理本质；坐标系引入后的相关表达式冗长引入张量方法§A－1指标符号x,xxx(i1,2,n)12n记作i下标符号i称为指标；n为维数指标i可以是下标，如xi也可以是上标，如xi指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标x（i=1,2,3）～x，x，x～x,y,zi123u（i=1,2,3）～u，u，u～u,v,wi123111213xxyxz(i,j1,2,3)～～

2、ij212223yxyyz313233zxzyz一．若干约定哑标和自由标1.Einstein求和约定凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标。如：ax(i1,2,n)iinaxaxaxax1122nni1ii又如：iijj112233xyz1求和约定仅对字母指标有效，如33z2重复不止一次的指标，求和约定失败3同一项内二对哑标应使用不同指标，如33aijxixji1i1aijxixj4哑标可以换用不同的

3、字母指标2.求导记号的缩写约定ui()()u,ji,jxxjj22()uk()u,ijk,ijxxxxijij3.自由标定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如axbj为自由标jiijj=1a11x1a12x2a13x3b11同一个方程中各项自由标必须相同2不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变如：axbjiijaxbwrongkiijaxbrightkiik二．克罗内克（Kronecker-δ）符号定义：1当ijij0当ij由定义100111213I010

4、212223ij001313233A1j1ijAi1jA12jA23jA3A2j2Aj33Ajds2dx2dy2dz2dxdxdxdxiiijij性质：3ijijii112233AAAAAAijijiijj112233AAijjkikijjkikijjkklilxixi,jijxjaiijkajk§A－2张量的定义和代数运算1.矢量的基本运算矢量a分量aiaaeaeaeae112233ii基矢量e1e2

5、e3(3个坐标方向的单位矢量）说明1任意矢量可以表示为基矢量的线性组合2基矢量不是唯一的点积1基矢量点积eeδijij2任意两矢量的点积abaebeabδiijjijijababiijj3矢量的基本运算还有叉积、混合积等并矢（并乘）定义：abaieibjejaibjeiej展开共9项，ee可视为并矢的基ijab为并矢的分解系数或分量ij2.平面笛卡儿坐标系旋转变换x2x'1x'2x2x'x'12e2e'1e'2exx111x'2x1x'2x2x'x'2ee12'1e'2x1e1x1'令：αi'jcos(ei',ej)(i,j1,2)

6、cos(e1',e1)cos(e1',e2)cossin则：αi'jcos(e,e)cos(e,e)2'12'2sincosx1'1'11'2x1x1于是：'()x'''x2ijx222122x1''x'Tx'同样：111211'x2''x'ijx'212222由（）式得x11x'1i'jx2

7、x2'T1比较:''ijij[']为正交矩阵ij引用指标符号：xxiijjxiij'xj'由xiij'xj'ij'j'kxk又xxiikkij'j'kik讨论:上式的几何意义说明1基矢量具有与坐标分量相同的变换规律ei'i'jeje'e'iijj2矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律vi'i'jvjviij'vj'3.三维情况eee'e'''ijijijij考虑一位置矢量xxex'e'jjjjxee'x'e'e'jjijjixcos(e,e')

8、x'''x'jjij