届总复习-走向清华北大-8二次函数

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1、第八讲一次函数､二次函数､幂函数回归课本1.二次函数的性质与图象(1)函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域是R.⑤当Δ=b2-4ac>0时,与x轴两交点的横坐标x1､x2分别是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根;当Δ=0时,与x轴切于一点当Δ<0时,与x轴没有交点;⑥当b≠0时,是非奇非偶函数,当b=0时,是偶函数;⑦对于函数f(x),若对任意自变量x的值,都有f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.2.常用幂函数的图象与性质函数特征性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,

2、+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,+∞)时,增增增x∈(0,+∞)时,减x∈(-∞,0]时,减x∈(-∞,0)时减特殊点(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)考点陪练1.函数y=x2+4x+3在[-1,0]上的最大值是________,最小值是________.解析:y=x2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴x=-2,在[-1,0]的左侧,所以在[-1,0]上单调递增.故当x=0时,f(x)取最大值f(0)=3;当x=-1时,f(x)取最小值f(-1

3、)=0.答案:302.f(x)=x2+2(2-a)x+2在(-∞,2]上是减函数,则a的取值范围________.解析:要使f(x)在(-∞,2]上是减函数,只要对称轴即可,解得a≥4.答案:a≥43.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的范围是()A.f(1)≥25B.f(1)=25C.f(1)≤25D.f(1)>25答案:A4.已知当m∈R时,函数f(x)=m(x2-1)+x-a的图象和x轴恒有公共点,则实数a的取值范围________.答案:m=0时,a∈R;m≠0时,a∈[-1,1]解析:在函数y=x-1,y=x,y=x,

4、y=x3中,只有函数y=x和y=x3的定义域是R,且是奇函数,故a=1,3.答案:A类型一二次函数图像和性质的应用(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当Δ=b2-4ac>0时,图象与x轴有两个交点(2)二次函数的图象与性质是历年高考的热点内容,今后仍是高考命题的热点,选择题､填空题､解答题三种题型中都有可能出现.【典例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数.[分析]由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点,且知其最大值,所以可应用一般式､顶点式或两根式解题.解法三:利用两根式.由

5、已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即解得a=-4,或a=0(舍).∴所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.类型二二次函数在特定区间上的最值问题解题准备:1.二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得.3.解答此类问题往往离不开数形结合和分类讨论的数学思想,有利于培养学生综合分析问题的能力.【典例2】已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2,求a的值.[分析]作出函数图象

6、,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论对称轴位置以确定f(x)在[0,1]上的单调情况.[解]当对称轴x=a<0时,如图(1)所示.当x=0时,y有最大值,ymax=f(0)=1-a.所以1-a=2,即a=-1,且满足a<0,所以a=-1.当0≤a≤1时,如图(2)所示.即当x=a时,y有最大值,ymax=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1.∴a2-a+1=2,[探究]已知f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1],若f(x)的最小值为h(t),写出h(t)的表达式.[分析]所求二次函数解析式固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二

7、次函数的单调性求函数在区间上的最值.[评析]二次函数区间最值主要有三种类型:轴定区间定,轴定区间动和轴动区间定.一般来说,讨论二次函数在闭区间上的最值,主要是看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上,从而应用单调性求最值.类型三二次函数根的分布问题(4)二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的区间根问题,一般情况下需要从三个方面考虑:①判别式;②区间端点函数值的正负;③对称轴与区间端点的关系.【典例3】已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围.[分析]本题涉及