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1、例析“放缩法”巧证函数不等式广州市广东广雅中学(510160)徐广华1证明函数不等式恒成立的三种思想方法存在最大值,且有f(x)min>g(x)max,则f(x)>g(x)恒成立.一般来说,证明函数不等式f(x)>g(x)恒成立,有如下说明f(x)min>g(x)max是f(x)>g(x)恒成立的一个三种思想方法:充分不必要条件.若f(x)min=g(x)max,f(x)min=f(x1),方法一“移项构造函数法”:设F(x)=f(x)−g(x),则g(x)max=g(x2)且x1̸=x2,显然也有f(x)>g(x)恒f(x)>g(x)恒成立,等价于F(x)>0恒成立,若F(
2、x)存在成立.若f(x)不存在最小值,或g(x)不存在最大值,最小值,则等价于F(x)min>0.可将不等式f(x)>g(x)适当移项变形,等价转化为′说明尽管F(x)存在最小值,但有些时候方程F(x)=φ(x)>ψ(x)恒成立,若φ(x)min>ψ(x)max,则f(x)>g(x)0的根(极值点)解不出来,此时往往借助零点存在性定理和恒成立.方法三也可看作是方法二的特例,其证明流程是:′′F(x)的单调性,先证明方程F(x)=0有唯一实根x0,然后f(x)>f(x)min>g(x)max>g(x),故有f(x)>g(x)恒成立.用“设而不求”的方法,证明F(x)min=F(
3、x0)>0,这里要利这里,f(x)min和g(x)max是函数f(x)与g(x)的两个“隔离”′用F(x0)=0进行转化替换.常函数.方法二“放缩法”:先证f(x)>h(x)恒成立,再以上三种方法中,方法一是通法,思路自然,但极值点解证h(x)>g(x)恒成立,则有f(x)>h(x)>g(x),故不出来时就比较麻烦;方法二、方法三是巧法,技术含量较高,f(x)>g(x)恒成立.找“隔离”函数、适当移项变形是难点.说明若f(x)>h(x)恒成立,h(x)>g(x)恒成立,且两2放缩法证明函数不等式中常用的重要不等式个等号不同时成立的话,显然也有f(x)>g(x)恒成立.放缩法证
4、明的关键是找到一个介于f(x)与g(x)之间的“中介”一般情况下,我们常利用如下重要结论对函数进行放缩,函数h(x),这里我们称h(x)是函数f(x)与g(x)的“隔离”寻找合适的“隔离”函数:x函数.⃝16ln(x+1)6x(x>−1),等号当且仅当x+1方法三转化为证其充分条件:若f(x)存在最小值,g(x)x=0时成立.∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼《中学数学研究》编辑委员会名誉主编:柳柏濂顾问:(以姓氏笔划为序)王林全,柳柏濂社长:黎稳主编:吕杰副主编:何小亚,徐勇编委:(以姓氏笔
5、划为序)尤利华,邓春源,叶远灵,吕伟泉,吕杰,刘名生,刘秀湘,孙道椿,苏洪雨,李健全,吴有昌,何小亚,张敏,陈小山,陈奇斌,林少杰,林长好,姚静,袁平之,袁汉辉,耿堤,徐志庭,徐勇,章绍辉,曾辛金,谢明初2017年第4期(上)中学数学研究1xlnx1推论1-10).⃝9y=(x>0)在x=e时取最大值;x+1xe1lnx√1推论1-21−6lnx6x−1(x>0),等号当且仅当⃝10y=(x>0)在x=e时取最大值.xx22ex=1时成立.熟悉以上常见函数的最值结论(知识储备),可以帮助我⃝2ex>x+1(x∈R),等号当且仅当x=0时成立.们快速想
6、到如何将函数不等式适当移项变形,然后转化为用x推论2e>x+1(x>0).方法三来证明等价变形后的不等式恒成立.⃝3ex>ex(x>0),等号当且仅当x=1时成立.4例析放缩法证明函数不等式xe2x2推论3-1e>x(x>0);e>x(x>0);例1.(2010全国理20)已知函数f(x)=(x+1)lnx−2推论3-2ex>ex3(x>0);ex>1x3(x>0).x+1.63′2以上结论及其推论都可利用“移项构造函数法”容易证(I)若xf(x)6x+ax+1,求a的取值范围;明.(证明过程略)(II)证明:(x−1)f(x)>0.23nxxxx∗分析(I)略.⃝4e>1+
7、x+++···+(x>0,n∈N).2!3!n!1证法一数学归纳法.(证明过程略)(II)推论1-2得:1−6lnx6x−1.⃝1当x>1时,(x)证法二商比较法.(最优解法)由f(x)>(x+1)1−1−x+1=x−1>0;xx将不等式右边除以左边,作商构造函数⃝2当x=1时,f(x)=0;⃝3当00),1-2得:f(x)<(x+1)(x−1)−x+1=x(x−1)<0.综上,2!3!n!(x−1)f(x)>0.n′x−x√F
