相速度与群速度

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1、物理第一次案例：地震波相速度与群速度　　振动状态在空间的传播速度称为波速，又称相速度。如沿x轴正方向传播的平面简谐波，其表达式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　式中（wt-kx）称为波相，当（wt-kx）一定时，则x值一定。当t增大时，x必须增大，才能保持（wt-kx）不变。这意味着用（wt-kx）描述的振动状态随着时间的推移向x的正方向传播。相速度即波相传播的速度，等于x对t的变化率，令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　wt-kx＝常量将上式两边微分，经整理可得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）u即所求相速度。这里w=2pv，，代入则得　　　　　　　　　　　　　

2、　　　　　此即大家熟悉的相速度的公式。　　从根本上讲，相速度的大小取决于媒质的性质。弹性波由弹性媒质的力学性质决定，电磁波由媒质的折射率决定。　　实验和理论证明，相速度的大小还与波的频率有关。光的色散现象就是波速与频率有关的明显例证。通常把相速度与频率无关的媒质称为无色散媒质；把相速度随频率而变的媒质称为色散媒质。　　在无色散媒质中，只要用相速度描述波的传播即可，但是在色散媒质中，要描述任意一种波(如图1所示的非简谐波)的传播只有相速度就不够了，需要引入群速度的概念。p/dλ≠0，vg≠vp），并且在正常色散区域（dvp/dλ＞0，dn/dλ＜0），群速度小于相速度（vg＜vp）；在反常色

3、散区域（dvp/dλ＜0，dn/dλ＞0），群速度则大于相速度（vg＞vp）。只有在无色散介质或真空中（dvp/dλ=0，dn/dλ=0），群速度才等于相速度（vg=vp）。根据付里叶分析，任何一个复杂的波，都可以分解成许多不同频率成分的简谐波的叠加。在色散媒质中，不同频率的简谐波传播速度不同，那么这许多简谐波合成的波是以什么速度传播呢？　　为了方便，以两个频率相近的等振幅简谐波的合成波的传播为例说明群速度物理第一次案例：地震波的概念。设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合成波为　　　　　　　　　　（2）式（2）中或，或k2,所以变化缓慢，如图中虚线所示的包络线；

4、而表示图中一个个小的波形。令，，，，则式（2）可改写为　　　　　　　　　　　在波传播过程中，一个个小的波形在向前传播的同时，整个波形即包络也在向前移动，二者移动速度可如下求得：令　　　　　　　　　　　　　　　＝常量等式两边微分，可求得小波形移动的速度为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）同样可求得包络移动的速度或称波群移动的速度为　　　　　　　　　　　　　　一般表示为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）Ug即群速度。在无色散媒质中，相速度与频率无关，由w=uk可求得物理第一次案例：地震波　　　　　　　　　　　　　　　　　　=u在这种情况下，不同频率的简谐波以相同的波速传播

5、，整个波群也以相同的速度传播，并保持波形不变。　　在色散媒质中，相速度与频率有关。在w=uk中u是频率的函数，这样　　　　　　　　　　　　　　又，所以，代入上式则有　　　　　　　　　　　　　　　　当已知u与l的关系时，即可求得Ug。　　微观粒子也具有波动性，德布罗意把微观粒子的波粒二象性统一表示在由他提出的德布罗意公式中微观粒子也具有波动性，德布罗意把微观粒子的波粒二象性统一表示在由他提出的德布罗意公式中　　　　　　　　　　　　　　　　　式中p为粒子动量，h为普朗克常数，l为表示粒子波动性的波长，u是粒子运动速度。粒子具有能量，是能量的携带者，所以粒子运动速度u是德布罗意波的群速度，而德布

6、罗意波的相速度为不难证明，u相与u不同。将德布罗意波长l代入相速度公式，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　又粒子能量，代入上式则有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　式中c为真空中光速。光速是一切物质运动速度的极限，所以uc，即相速度大于光速。然而这与相对论并不矛盾。相对论是指物质运动速度或信号传播速度不能大于光速；而相速度既不表征信号速度，也不表征能量传播速度，而是如前所述的相位的传播速度。群速度与相速度：由波动方程所确定的光波速度v=v/n，反映了光波波面相位的传播速度。由于色散的存在，在同一介质中传播的不同频率的光波具有不同的相速度，也就是说，同一光信号所包

7、含的不同光谱成分在色散介质中不能同步传播。这样就出现一个问题，当我们在距离光源较远的空间某点观察来自该点发出的光信号时，在同一时刻接收到的不同频率的光信号实际是光源在不同时刻发出的。现假设某个沿z物理第一次案例：地震波轴方向传播的光信号由两种频率成分的单色平面波组成，两光波的振幅和振动方向相同，其在空间某点（t时刻）的光振动可分别振动为：若取△ω=（ω2-ω1）/2，△k=（k2-k1）/2，ω0=（ω2+ω1）/2，k