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1、第19卷第1期广西梧州师范高等专科学校学报2003年1月Vol.19No.1JOURNALOFWUZHOUTEACHERSCOLLEGEOFGUANGXIJan.2003物质波的相速度、群速度与粒子的速度梁志超(梧州师专物电系,广西贺州542800)[摘要]由于微观粒子具有波粒二象性,引入物质波来描述微观粒子。本文主要论证物质波的相速度、群速度与粒子运动速度的关系,说明德布罗意的假设具有内在的一致性。[关键词]物质波;相速度;群速度;粒子的速度[中图分类号]O41[文献标识码]A[文章编号]1008-8377(2003)01-0072-031923年德布罗意从理论上猜测,波粒
2、二象性不只是光所具有的独特性质,而应该是遍及整个物理世界的一种普遍现象,并提出了下述假说:完全和光子一样,物质微粒也具有波动性的一面。一个能量为E,动量为p的物质粒子可以同一个波相联系,这种波的角频率=2及波矢k,由适用于光子的同样式子给出:E=h=(1)p=k而对应的波长是:2hh===(2)
3、k
4、
5、p
6、p这个式子称为德布罗意关系式;与之相联系的波称为德布罗意波或物质波。考察物质波在一种均匀的各向同性的介质中的传播,最简单的物质波是平面单色波,采用复函数表示为:i(kr-t)(r,t)=Ae(3)(
7、r,t)称为波函数。A为振幅是常量,由于相位向前移动时保持不变,即kr-t=常量选取k与r的方向一致,有kdr-dt=0dr=dtkdr这里是表示等相面的传播速度,即相速度;dtp==(4)k对于能量为E,动量为p的自由粒子,根据德布罗意假设有E=,p=k,由(4)式得到这个自由粒子对应的物质波的相速度为Ep==(5)kp12现在假定这个自由粒子以非相对论性的速度运动。有E=m,p=m,上式可写为22Em/2p===(6)pm2这个结果似乎令人困惑,因为这个物质波看起来并不能跟上那个粒子,而它却要控制那个粒子的运动。2
8、如果,假定这个自由粒子的运动是相对性的。根据相对论的理论,有E=mc,p=m和(其中m为总质[收稿日期]2002-11-1272第19卷第1期广西梧州师范高等专科学校学报2003年1月Vol.19No.1JOURNALOFWUZHOUTEACHERSCOLLEGEOFGUANGXIJan.2003量)。则:22Emccp===(7)pm22422由相对论知,粒子的运动速度不能超过光速c。对于静止质量m0>0的粒子,利用E=m0c+pc,hp=和p=,有p24221E=h=h=[m0c+pc]222224h221m0c1p=[m0c+()c]2=
9、c[+1]2hh由m0>0,则p>c。这样物质波的相速度不能代表粒子的运动速度,也不能代表粒子信息的传播速度和作用传递的速度。否则将违反相对论的理论。对于平面单色波取(r,t)的模的平方有22
10、(r,t)
11、=
12、A
13、=常量(8)根据波函数的统计解释,这个物质波描述的粒子在空间各点出现的几率是一样。而这个波函数并不是平方可积的。在光学中,一个平面单色波在物理上是不能实现的,它是理想的极限情况,严格说来,它不能代表实际粒子的物理状态。在量子力学中也是用它来描述理想的粒子,即自由粒子,它给出自由粒子确定的能量、动量和出现在空间各点处几率相同。对于实际的粒子,物质波的型式更为复杂。根
14、据叠加原理,任何一个物质波可表示为1i[kr-(k)t]3(r.t)=3g(k)edk(9)(2)2这个波函数完全是平方可积的。这是一个三维波包,为简单起见,考察一维波包,其波函数为1i[kx-(k)t](x.t)=g(k)edk(10)(2)由于粒子的能量和动量都有一定的取值范围,它所对应的频率也有一定的区间。将此物质波写作此频率区间(0-,0+)内所有各分波的一个积分:1k+ki[kx-(k)t](x.t)=k0-kg(k)edk(11)(2)0由于=(k),0对应k0,对应k,将(k)在0附近展
15、开:d(k)=0+
16、k(k-k0)+(12)dk0略去(12)式中的高次项,代入(11)式,考虑到k是k的函数。若它的变化较缓慢,在很小的k范围内,可看作常数,即g(k)=g(k0);引入积分变量=k-k0,则k=k0+(k-k0)=k0+,可将(11)式化为1ki[kx+x-t-d
17、t](x.t)=-kg(k0)e00dkk0d(2)1i(kx-t)ki(x-d
18、t)=g(k0)e0
