不动点地性质与应用(教师版)

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1、实用文档不动点的性质与应用一、不动点：对于函数，我们把方程的解称为函数的不动点，即与图像交点的横坐标.例1：求函数的不动点.解：有一个不动点为例2：求函数的不动点.解：有两个不动点二、稳定点：对于函数，我们把方程的解称为函数的稳定点，即与图像交点的横坐标.很显然，若为函数的不动点，则必为函数的稳定点.证明：因为，所以，故也是函数的稳定点.例3：求函数的稳定点.解：设，令，解得故函数有一个稳定点【提问】有没有不是不动点的稳定点呢？答：当然有例4：求函数的稳定点.解：令，则，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解必有

2、因式可得另外两解，故函数的稳定点是、，其中是稳定点，但不是不动点下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.文案大全实用文档图-1图-2图-3图-4由此可见，不动点是函数图像与直线的交点的横坐标，稳定点是函数图像与曲线图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.由图1和图3，我们猜测命题：若函数单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.证明：（1）若函数有不动点，即，故也是函数的稳定点；若函数有稳定点，即，假设不是函数的不动点，即①若f（x0）>x0，则f（f（x0

3、））>f（x0），即x0>f（x0）与f（x0）>x0矛盾，故不存在这种情况；②若f（x0）

4、f(x)=x成立的x称为函数f(x)的不动点。把使得f(f(x))=x成立的x称为函数的f(x)的稳定点，函数f(x)的不动点和稳定点构成集合分别记为A和B.即A={x

5、f(x)=x},B={x

6、f(f(x))=x}，（1）请证明：A⊆B；（2），且A=B≠∅，求实数a的取值范围.解：（1）证明：①若时，②若时，对任意的，有综上，得（2）有解（x2-a）2-a=x有解x4-2ax2-x+a2-a=0A⊆B∴即x4-2ax2-x+a2-a=0的左边有因式x2-x-a；∴(x2-x-a)(x2+x-a+1)=0；又A=B

7、∴x2+x-a+1=0无实数根，或实数根是方程x2-x-a=0的根；∴①若x2+x-a+1=0无实数根，则△=1-4（-a+1）<0②若x2+x-a+1=0有实根，且实根是方程x2-x-a=0的根；作差，得2x+1=0综上，a的取值范围为例6、已知函数，若存在，使得，则称为函数的不动点；若存在，使得，则称为函数的稳定点，则下列结论中正确的是_________(填上所有正确结论的序号).①是函数的两个不动点；②若为函数的不动点，则必为函数的稳定点；③若为函数的稳定点，则必为函数的不动点；④函数共有三个稳定点；⑤的不动点

8、与稳定点相同。考点：[命题的真假判断与应用]解：①解得：故是函数有两个不动点，即①正确；②若为函数y=f(x)的不动点，则，此时，文案大全实用文档则必为函数y=f(x)的稳定点，故②正确；③若为函数y=f(x)的稳定点，则不一定为函数y=f(x)的不动点(见①④结论)，故③错误；④解，得x=或x=1或或即函数共有四个稳定点，故④错误；⑤因在定义域上为增函数，故它的不动点与稳定点相同。故答案为：①②⑤例7、设函数.若方程f(f(x))=x有解,则a的取值范围为()A.B.C.D.[1,+∞)解：法二：设f(x)=t,t

9、⩾0,则方程f(f(x))=x等价为f(t)=x，即，∴t=x，即f(x)=x，∴在x⩾0时有解，∴设则，故选：A.例8：已知，若在上单调．（1）求的取值范围；（2）已知，若设，且满足，求证：．解：（1）法一：令，则恒成立（2）（证法一）设，由得，于是有（1）－（2）得：，化简可得，，，故，即有．（证法二）假设，①若f（x0）>x0，则f（f（x0））>f（x0），即x0>f（x0）与f（x0）>x0矛盾，故不存在这种情况；②若f（x0）

10、，故不存在这种情况；综上，f（x0）=x0文案大全实用文档例9：已知，且方程无实根。现有四个命题①方程也一定没有实数根；②若，则不等式对一切成立；③若，则必存在实数使不等式成立；④若，则不等式对一切成立。其中真命题的个数是（C）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【提问】由以上例题我们还可以得到什么结论呢？【性质】1、函数不动点构成的集合是