数学毕业论文 关于函数不动点的性质及应用

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1、.2014届本科毕业论文(设计)题目：关于函数不动点的性质及应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学09-3班学生姓名：帕孜丽娅·阿布都热习题指导教师：塔实甫拉提副教授答辩日期：2014年5月5日新疆师范大学教务...目录引言11函数不动点的基本概念11.1函数不动点的定义与定理及推论12函数不动点的性质22.1不动点的不唯一33函数不动点的应用43.1求函数的不动点43.2利用函数不动点求函数解析式73.3利用函数不动点解方程83.4利用函数不动点求数列通项93.5利用函数不动点求函数极限114总结13参考文献13致谢13...关于连续函数的不动

2、点及应用摘要：不动点定理是20世纪数学发展中的重大课题，其影响遍及整个数学界。此定理涉及数学分析、拓扑学、非线性分析等多种问题，运用不动点定理，可以解决数学中出现的许多问题，简单、方便、实用。本论文以介绍布劳威尔不动点定理为主线，详细研究迭代法的思想，简介不动点定理的起源和基本内容，考虑了连续函数和单调函数的不动点问题，最后研究了不动点定理在数列极限中的应用。关键词：不动点定理；迭代法；函数；数列极限。...引言不动点定理的产生是数学发展史上的一次重大突破，它涉及诸多数学分支，其应用十分广泛，相关领域的研究至今仍呈现勃勃生机。数学中的许多重要的定理

3、，如隐函数定理、微分方程解的存在性定理等，都可以用不动点定理给出简洁的证明。本论文简单粗浅地介绍了对不动点定理的认识、理解，以及它的应用。1函数不动点的基本概念1.1函数不动点的定义与定理及推定义1.1.1对函数，若存在实数，满足，则称为的不动点。对此定义有两方面的理解：（1）代数意义：若方程有实数根，则有不动点；（2）几何意义：若函数与有交点，则为的不动点。关于一元函数的不动点是一重要研究课题，而连续函数是一类重要函数，连续函数不动点存在定理目前有如下结论：结论1.2.1在上连续，且值域为，则在上存在不动点。【4】结论1.2.2在上满足，的值域为

4、，则存在不动点。【4】结论1.2.3在上严格单减，且，则存在不动点。【4】本文给出连续函数存在不动点的3个定理。定理1.2.1在区间上连续，且是的满射，，若，则存在惟一的不动点。定理1.2.2在上有有限个可去间断点，在间断点的极限不为，，则在上存在不动点。定理1.2.3在上连续。设为曲线的端点，若与线段相交，则一定存在不动点。2函数不动点的性质性质2.1函数如有不动点，不动点必为函数的图象与直线的交点。性质2.2奇函数如有不动点，则点也是它的不动点。性质2.3函数的反函数为，若是的不动点则也是的不动点。证明由，可得，所以是的不动点。性质2.4定义在

5、R上的奇函数图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个。证明是奇函数，。又，令，则，...0是的不动点。设是奇函数的一个不动点，则。，也是函数的一个不动点，且，这说明奇函数的非零不动点如果存在，则必成对出现。又根据题设只有有限个不动点，故函数的不动点数目是奇数个。但对于偶函数没有相应的结论，即“定义在R上的偶函数的不动点的个数为偶数个”此命题是不成立的。例如：是偶函数，设是的不动点，则一方面，另一方面，由此得。因此有且只有一个不动点。性质2.5已知若是的不动点，则是的不动点。证明因为，则是的不动点，假设是的不动点，即，则，由数学归纳法知是的不动点，所

6、以是的不动点。性质2.6函数有两个关于原点对称的不动点的充分必要条件是。证明设的一个不动点，是它的另一个不动点，则有方程，整理，得①由题意，方程①有两个根，绝对值相等，符号相反，故。2.1不动点不必唯一如下图1、2中就分别画出了三个不动点。...图1图2（4）并非所有函数都存在不动点。在上连续的函数，或者值域包含，或者值域含在中，均存在不动点，而其它情形则不一定有不动点。（参见下图3、4、5）图3的值域包含，图4的值域含于之中，有一不动点c。有一不动点。图5的值域既不含于，也不包含，没有不动点。3函数不动点的应用不动点理论是泛函分析理论的重要组成部

7、分，我们可以看到多种不同形式的不动点定理，这些定理对不动点的存在性及个数进行广泛而深入的研究。不动点定理在数学中有着广泛应用。3.1求函数的不动点求解函数的不动点时需要运用各种方法与技巧，才能使问题迅速获解。例3.1.1对于任意定义在区间上的函数，若实数满足，则称为函数在上的一个不动点。求函数在上的不动点。解设是在上的不动点，则，解得，即1是在上的不动点。例3.1.2是形如的实变量的非零函数集，且是具有下列性质：（ⅰ）若，则，其中定义；（ⅱ）若，且，则反函数也属于，这里...；（ⅲ）对中每一个，存在一实数，使得。求证：总存在一个实数，对所有有。证明

8、条件（ⅲ）表明，对每一个，都有一个不动点，使得。现要证集合中所有函数，必有一个公共不动点。设的不动点为，即。若，则任何实数