两个平面的平行与垂直

《两个平面的平行与垂直》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、新课标高中一轮总复习第九单元直线、平面、简单几何体和空间向量第62讲两个平面的平行与垂直1.能识别平面与平面的位置关系，理解面面平行和垂直的定义.2.掌握面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理，并能灵活应用.3.进一步培养推理论证能力和空间想象能力.1.若不共线的三点到平面α的距离相等，则由这三点确定的平面β与α的位置关系是()DA.平行B.相交C.异面D.平行或相交都有可能当三点在平面α同侧时，两平面平行，当三点分别在平面α异侧时，两平面垂直.2.平行α∥平面β的一个充分条件是()BA.存在一条直线a，a∥α，a∥

2、βB.存在一条直线a，a⊥α，a⊥βC.存在两条直线a、b，aα，bβ，a∥β，b∥αD.存在一个平面γ，α⊥γ，β⊥γ3.若平面α∥平面β,直线aα，点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()DA.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数多条与a平行的直线D.存在惟一一条与a平行的直线由于Ba，则a和B确定一个平面γ，平面γ∩平面β=l，可知l惟一存在，且l∥a.4.若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()AA.若l⊥α，l∥β，则α⊥βB.若

3、α⊥β，lα，则l⊥βC.若l⊥n，m⊥n，则l∥mD.若α∥β，lα，nβ，则l∥n对于选项A，过l作平面γ∩β=l′,由于l∥β，则l′∥l.又l⊥α，可知l′⊥α，而l′β，故α⊥β；对于选项B,l若是α与β的交线，则lβ；对于选项C，l与m可平行,可相交,可异面;对于选项D,l与n可平行，可异面.故选A.1.平面与平面平行定义：若平面α与平面β没有公共点，则称平面α与平面β平行，记作α∥β.判定定理:如果一个平面内有①直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.性质定理：如果两个平行平面同时与第三个

4、平面相交，那么它们的交线②.两条相交平行2.平面与平面垂直定义：平面α与平面β相交，如果所成的二面角是直二面角，则称α与β互相垂直，记作α⊥β.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条③，那么这两个平面互相垂直.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线④另一个平面.垂线垂直于题型一两个平面平行的判定与应用例1如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P、Q分别是DD1、CC1的中点，M是BD1上一点.(1)证明：平面D1BQ∥平面PAO；(2)点M位于BD1的什

5、么位置时,QM⊥BD?(1)连接PQ、AP.因为P、Q为DD1、CC1的中点，所以PQCDAB，所以AP∥BQ，所以AP∥平面D1BQ.又O为底面ABCD的中点，即O为BD的中点.又P为DD1的中点，所以PO∥BD1，所以PO∥平面D1BQ.又PO∩AP=P，所以平面D1BQ∥平面PAO.(2)当M位于BD1的中点时，QM⊥BD.连接A1C1、A1C，则平面A1C1CA∩平面BD1Q=QM，平面A1C1CA∩平面ADO=AO.由(1)知，平面D1BQ∥平面PAO，所以QM∥AO.又AO⊥BD，所以QM⊥BD.(1)证

6、明两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论，通过线面平行来完成证明；③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；④借助于“传递性”来完成；⑤可以用向量法来证明直线和平面平行.(2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意其中转化思想的应用.题型二面面垂直的判定与应用例2如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM=1，BC=2,又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC,直线AM与直线PC所成的角为60°.（1）求

7、证：平面PMBC⊥平面ABC;（2）求二面角M-AC-B的余弦值;（3）求三棱锥P-MAC的体积.(1)因为PC⊥AB，PC⊥BC，且AB∩BC=B,所以PC⊥平面ABC,又因为PC平面PMBC,所以平面PMBC⊥平面ABC.(2)取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，则PMCN，MNPC,由(1)知，MN⊥平面ABC.作NH⊥AC,交AC的延长线于H,连接MH,则可证得AC⊥MH,从而∠MHN为二面角M-AC-B的平面角，因为直线A与直线PC所成的角为60°,所以∠AMN=60°,在△ACN中，由余弦定理得

8、AN==,在Rt△AMN中,=tan∠AMN,则MN=×=1,在Rt△CNH中,NH=CN·sin∠NCH=1×=,在Rt△MNH中,tan∠MHN===.所以，cos∠MHN=.故二面角M-AC-B的余弦值为.(3)由（2）知,PCMN为正方形.所以VP-MAC=VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN=×AC·CN·sin120°·MN=.