《二重积分习题课》ppt课件

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1、习题课重积分(二重)习题二重积分计算一的解题程序（1）画出积分域D的草图。（2）选择坐标系，主要根据积分或D的形状，有时也参看被积函数的形式，见表11-1。表11-1（3）选择积分次序选序的原则：①先积分的容易，并能为后积分创造条件；②对积分域D的划分，块数越少越好。（4）确定累次积分的上下限，作定积分运算。定限口诀：后积先定限,(累次积分中后积变量的上下限均为常数)限内划条线，(该直线//坐标轴且同向.)先交下限写,(上下限或者为常数或者后积分变量的函数)后交上限见。直角坐标系中积分限的确定，参看图11-2(

2、a)、(b).直线l//y轴它先与D的边界曲线y=1(x)相交,1(x)取做下限,后成D的边界曲线y=2(x)相交,2(x)取作上限,故与以上作类似分析，可得注：一般讲，后积分的变量，积分上下限均为常数；先积分的变量，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。图11-2(b)图11-2(a)直角坐标系中积分限参看图11-2(a)、(b).[解]（a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）也是错的，原因是改

3、变积分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。【例1】设，则改变其积分次序后为。二极坐标系中积分限的确定一般而言，极坐标系中二重积分的积分次序是“先后”。即积分限随极点0与积分域D的边界曲线的相对位置而定。当极点0在域D的边界曲线之外时图11-3(a)2.当极点0在域D的边界线上时图11-3(b)3.当极点0在积分域D的边界线之内时图11-3(c)3.当极点0在积分域D的边界线之内时图11-3(c)三典型例题分析（1）由所给累次积分的上下限写出表示积分域D的不等式组；（2）依据不等式组画出积分域D的草

4、图；（3）写出新的累次积分，积分限的确定与前面所讲的相同。三典型例题分析1.更换积分次序解题程序【例2】更换下列积分次序：[解]（1）由积分的上下限知由D1,D2作出D的图形，见图11-4。于是故图11-4分别写出右边两个积分所确定的不等式组由D1,D2作出D的图形见图11-5，于是图11-5[解]极坐标系中的二重积分，若先对后对进行积分，则应注意如下两点：（1）积分域D的边界曲线均用极坐标表示；（2）若以原点0为圆心的一系列同心圆与域D的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处把的区间分开处理。【例11.

5、6】更换下列积分次序：作图,见图11-8。图11-8图11-9等等，一定要将其放在后面积分。凡遇如下形式积分：2.选择积分次序[解]（1）∵不能用有限形式表示出其结果，∴它不能先积分，故图11-10X=0X=yD是以(0,0),(1,1),(0,1)为【例3】计算下列二重积分：顶点的三角形。D是由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域。（2）因为不能用有限形式表示出其结果，所以它不能先积分，故图11-11【例4】计算[解]∵不能用有限形式表示出其结果先要写出右边两积分的积分域所对应的不等式组图11-12X=yX

6、=∴不能先计算,为了改变积分次序3.坐标系的选择【例6】设有一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xoy坐标面为底，柱面x2+y2=1外、柱面x2+y2=2x内为侧，试求这个柱体的体积。[解]由题设可知曲顶柱体在xoy平面上的投影，即积分域D如图11-14所示，图11-14由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积更简单。曲线L1：=2cos，L2：=1，联立解得，图11-14【例7】求由下列曲面所围成的体积:z=x+y,z=xy,x+y=1,x=0,y=0.[解]显然，由以上曲面所围的空间形体在x0y坐

7、标上的投影是由x+y=1及x,y轴所围成的三角形，如图11-16。因而图11-16∴所求体积5.杂例【例9】计算下列积分：[解]三、对称性算法利用对称性计算二重积分：同理可得：对称性算法举例例10-112D1D1D2D3D4对称性算法举例例11DD1思考：-1-111§11.3二重积分的证题技巧一有关等式的证明1.概念型命题的证明凡欲证结论：f(x,y)=0的命题，多数用反证法。【例13】设f(x,y)是平面域D上的连续函数，且在D的任何一个子域上，恒有，则在D内[证]用反证法设有一点不妨设由f(x,y)的连

8、续性，可知一个的领域使得在其中f(x,y)>0，于是，由积分中值定理，必积，又因与假设矛盾，即知在D内有f(x,y)2.累次积分型的命题的证明证题思路：证题过程中，常用到重积分对积分域的可加性，对积分变量的无关性。【例14】设f(x)在[0,a](a>0)上连续，试证：[证]图11-224.二重积分的变量替换设被积函数f(x,y)在区域D上连续，若变换x=x(u,v),y=y(u,v