第四节 角分垂 等腰归

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1、录入：XYF第四节角分垂等腰归解题方法技巧从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线所在直线又成为底边上的中线和高所在直线，可以利用等腰三角形“三线合一”的性质（若题目条件中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段止于角的另一边）证题.另外，利用所作的垂直还能构造一对全等的直角三角形.图1-4-1如图1-4-1，∠1＝∠2，DE⊥OE于E，若延长DE交OB于F，则△OED≌△OEF，有DE＝EF＝DF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD等结论.例1如图1-4-2，已知△ABC中CD平分∠ACB，AD⊥CD

2、，DE∥BC交AB于E.求证：EA＝EB.图1-4-2【条件分析】由条件CD平分∠ACB，AD⊥CD，想到∠1＝∠2，∠ADC＝90°，可考虑延长AD交BC于点F，构造两个全等的直角三角形求解.由DE∥BC想到利用平行线分线段成比例定理证题.【思路建立】欲证EA＝EB，由DE∥BC想到只需证出点D是某条线段的中点即可.于是延长AD交BC于点F，由已知条件CD平分∠ACB，AD⊥CD，易得△ADC≌△FDC，得出AD＝DF，利用平行线分线段成比例定理得解.【证明】如图1-4-2，延长AD交BC于点F.∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2.又AD⊥CD，CD＝CD，∴

3、△ADC≌△FDC，∴AD＝FD.又∵DE∥BC，∴，∴EA＝EB.思考：如果将条件DE∥BC换成EA＝EB，证题结论换成DE∥BC，应怎样证明？提示：作出如例1同样的辅助线，证出点D是AF的中点，根据三角形中位线定理得证.方法技巧当遇到与角平分线垂直的线段时，一定要把这条线段延长后与角的另一条边相交，构造等腰三角形和两个全等的直角三角形.发散思维1.如图1-4-3，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BE＝AE.求证：DE∥AC.图1-4-32.已知：在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接D

4、E.求DE的长.例2已知：如图1-4-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD交AD的延长线于M.求证：AM＝(AB＋AC).图1-4-4【条件分析】由AD平分∠BAC，CM⊥AD，想到∠BAD＝∠CAD，∠AMC＝90°，可考虑通过补形法构造等腰三角形求解.由AD＝AB可得∠ABC＝∠ADB.【思路建立】由于已知条件中出现了与角平分线AD所在直线垂直的线段CM，所以可据此构造等腰三角形解决问题.具体思路有：（1）作△ABD关于直线AD对称的△AED（如图1-4-5），证明DM＝EC后使用等量代换可得结论；（2）将要证明的结论转化为2AM＝A

5、B＋AC，作出△ACM关于直线CM对称的△FCM后证明DF＝CF（如图1-4-6）；（3）作△ACM关于直线AD对称的△ANM（如图1-4-7），证明BP＝BN后使用等量代换可得结论.【证法1】如图1-4-5，作△ABD关于直线AD对称的△AED，则AE＝AB＝AD，∠B＝∠ADB＝∠ADE＝∠AED.取DC中点N，连接MN并延长交AC于F.在Rt△DMC中，DN＝MN＝CN，所以∠NMD＝∠NDM＝∠ADB＝∠ADE，所以MF∥DE，所以AM＝AF，所以DM＝EF＝FC＝EC.故AM＝AD＋DM＝(AB＋AE)＋EC＝(AB＋AC).图1-4-5【证法2】如

6、图1-4-6，作△ACM关于直线CM对称的△FCM.因为△FCM≌△ACM，所以∠F＝∠CAM，FC＝AC，AF＝2AM.而∠B＝∠FCD，又∠B＝∠ADB＝∠FDC，即∠FCD＝∠FDC，所以FC＝FD.故2AM＝AF＝AD＋DF＝AB＋CF＝AB＋AC.所以AM＝(AB＋AC).图1-4-6【证法3】如图1-4-7，延长CM交AB延长线于点N，作MP∥BC交BN于点P.因为CM⊥AD，∠1＝∠2，所以AN＝AC，NM＝CM.又因为MP∥BC，AB＝AD，所以BP＝PN＝BN，∠5＝∠3＝∠4＝∠6.所以AP＝AM，所以(AB＋AC)＝(AB＋AN)＝(AB

7、＋AP＋PN)＝(AB＋AP＋BP)＝(AB＋BP＋AP)＝×2AP＝AP＝AM，即AM＝(AB＋AC).图1-4-7规律总结但三角形中存在与角平分线垂直的线段时，首先考虑到用垂直关系（延长与角平分线垂直的线段），构造出全等的直角三角形，进而得出线段或角的相等关系，以便进行等线段或等角的转化.名师点拨证法1应用了翻折法构造等腰三角形；证法2也是应用了翻折法，构造出2AM，只需证明2AM＝AB＋AC即可；证法3通过补形法构造等腰三角形.发散思维3.已知：如图1-4-8，∠BAD＝∠CAD，AB＞AC，CD⊥AD于点D，H是BC的中点.求证：DH＝(AB-AC).

8、图1-4-8附：发散思维答案与解析1.