周期信号的频谱分析——傅里叶级数

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1、主要内容三角函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率频域分析从本章开始由时域转入变换域分析。傅里叶变换傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解（分解为三角函数或复指数函数的组合）。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。主要内容从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变

2、换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。一．三角函数形式的傅里叶级数是一个完备的正交函数集t在一个周期内，n=0,1,....由积分可知1.三角函数集在满足狄氏条件时，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数，其系数2．级数形式狄利克雷（Dirichlet）条件条件3:在一周期内，信号绝对可积;

3、条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。例1不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为2，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过2，但不连续点的数目是无穷多个。例2不满足条件2的一个函数是对此函数，其周期为1，有例3周期信号，周期为1，不满足此条件。在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期)说明与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都是有限值，因为例4求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。周期锯齿波的

4、傅里叶级数展开式为直流基波谐波其他形式余弦形式正弦形式关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图可画出频谱图周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性幅度频率特性和相位频率特性二．指数函数形式的傅里叶级数1．复指数正交函数集2．级数形式3．系数利用复变函数的正交特性说明傅立叶级数反变换————（4）傅立叶级数正变换————（5）三．两种系数之间的关系及频谱图利用欧拉公式相频特性幅频特性和相频特性幅频特性频谱图（单边谱）幅度频谱相位频谱离散谱，谱线请画出其幅度谱和相位谱。例5化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角形式的傅里叶级数的谱系数X化为指数形

5、式整理指数形式的傅里叶级数的系数谱线指数形式的频谱图三角形式与指数形式的频谱图对比三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图四．总结（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系（4）引入负频率(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式指数形式(2)两种频谱图的关系单边频谱双边频谱关系●●●(3)三个性质(4)引入负频率注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性五．函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数奇函数奇谐函数偶谐函数注：指交流分量1．偶函数信号波形相对于纵轴是对称的2．奇函数3．奇

6、谐函数f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即n=2,4,6,…时,n=1,3,5,…时,若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：4．偶谐函数n=2,4,6,…时,n=1,3,5,…时,f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量六．周期信号的功率这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;表明：周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的.绘成的线状图形，表示各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。功率信号能量信号