周期信号的傅里叶级数表

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1、第3章周期信号的傅里叶级数表示（8学时）本章内容Ⅰ.周期信号的频域分析（傅里叶级数）Ⅲ.LTI系统的频域分析Ⅱ.傅立叶级数的性质学习目标掌握傅里叶级数展开式理解频谱的概念掌握周期信号通过LTI系统的分析方法3.0引言Introduction时域分析方法的基础：信号在时域的分解。LTI系统满足线性、时不变性。2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：信号与系统的时域方法：将信号表示成时间变量的函数或序列，系统则由时间函数或序列的一个函数变换关系来表示，并在此基础上，分析和研究信号与系统问题，获得的

2、一套概念、理论和方法。变换域方法：通过某种数学变换，将信号和系统的时域表示转换成它们的变换域表示，并以这样的变换域解析体系，分析和研究信号与系统问题，获得另一套概念、理论和方法。信号变换的方法：傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、正弦和余弦变换、Hartely变换、沃尔什-哈达曼变换、Haar变换、小波变换（Wavelet）等。频域方法：由傅立叶变换开发的信号与系统分析方法。复频域方法：用拉氏变换和z变换开发的信号与系统分析方法。3.1历史的回顾（AHistoricalPerspective）任何科学理论,科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而得来的,其中有争论,还有人为之献出了生命。历史的

3、经验告诉我们,要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表“热的分析理论”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件傅里叶生平1768—1830傅里叶的两个最重要的贡献—“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示”——傅里叶的第二个主要论点由时域分

4、析方法有，3.2LTI系统对复指数信号的响应TheResponseofLTISystemstoComplexExponentials考查LTI系统对复指数信号和的响应：可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得的。这说明和符合对单元信号的第一项要求。特征函数(Eigenfunction)如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的特征值。结论：只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。复指数函数、是一切LTI系统的特征函数。　、分别是LTI系统与复指数信号相对应的特征值。对时域的任何一个信号或者,

5、若能将其表示为下列形式：利用系统的齐次性与叠加性同理：即：所以有由于FourierSeriesRepresentationofContinuous-TimePeriodicSignals3.3连续时间周期信号的傅里叶级数表示如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，一.连续时间傅里叶级数成谐波关系的复指数信号集:，其中每个信号都是以为周期的，它们的公共周期为，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。成谐波关系的复指数信号集:，其中每个信号都是以为周期的，它们的公共周期为，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。例1：显然也是以为周期的。该级数就是傅里叶级数，称为傅立叶级数的系数。这表明用傅里叶级数可以

6、表示连续时间周期信号，即:连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量。有例2：显然该信号中，有两个谐波分量，为相应分量的加权因子，即傅立叶系数。在该信号中，有四个谐波分量，即时对应的谐波分量。傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。二.频谱（Spectral）的概念在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。信号集中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。分量可表示为因此，当把周期

7、信号表示为傅里叶级数时，就可以将表示为这样绘出的图称为频谱图表示为频谱图其实就是将随频率的分布表示出来，即的关系。由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。幅度谱：反映谐波分量的幅值随谐波频率的变换。相位谱：反映谐波分量相位随谐波频率的变换情况。三.傅里叶级数的其它形式或若是实信号,则有，于是若令，则为实数。于是即：表明的模关于偶对称，幅角关于奇对称