中山大学高数期末考试真题及答案

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1、珠海校区2011学年度第一学期11级《高等数学二》期末考试题B学院:专业:姓名:学号:评分:阅卷老师签名:一.（10分,每小题5分）计算下列极限.∫2x2x22x5costdt(e+5)(e−7)x（1）lim;（2）lim.x→+∞(e3x+9)4x→0+x解：(1)原式=1.2xcosx4−cosx2(2)原式=lim=−1:x→0+1二.（10分）设f(x)=exsinx,x∈[0;2].求单调区间,拐点以及最大最小值.解：f′(x)=exsinx+excosx.单调递增区间是[0;3=4],[7=4;2];单调递减区间是[3=4;7

2、=4].f′′(x)=2excosx;拐点是x==2;3=2.√√22f(0)=0,f(3=4)=e3=4,f(7=4)=−e7=4,f(2)=0;所以最大值√2√222是f(3=4)=学策诚品e3=4,最小值是f(7=4)=−e7=4.22dyd2y三.（10分）函数y=y(x)由yex+lny=1确定.求和.dxdx2解：两边对x求导,有y′ex+yex+y′=y=0:两边再对x求导,有y′′ex+2y′ex+yex+y′′=y−y′2=y2=0,得y′2=y2−2y′ex−yexy′′=:1ex+yyex得y′=−:再把y′

3、代入即得y′′.1ex+y四.（20分,每小题5分）计算下列不定积分.∫∫x1（1）dx;（2）√dx;1+x4(1+x2)3∫11212解：(1)原式=dx=arctanx+C:21+x42()(2)令x=tant−

4、ln

5、x+1

6、+2ln

7、x+2

8、−ln

9、x+3

10、+C:222五.（20分,每小题5分）计算下列定积分和反常积分.∫√∫41x435（1）√dx;（2）x(tanx+sinx)dx;0x+1−1√解：(1)令t=x.∫∫()22t221原式=dt=2t−1+dt0t+10t+1()t22=2−t+ln(t+1)

11、0=2ln3:2(2)由被积函数的奇偶性,有,原式=0.∫∫2+∞−x2（3）

12、sin(2x+10)

13、dx;（4）xedx:0∫02解：(3)原式=4sin2xdx=4:∫0+∞1−x221−x2+∞1(4)原式=edx=−e

14、0=:2022

15、√六.（10分）求曲线y=x,和直线x=0,y=1所围成的图形的面积以及该图形绕x轴旋转形成的旋转体体积.∫()1√213=21解：面积=1−xdx=x−x

16、0=.033∫()1121体积=(1−x)dy=x−x

17、0=:学策诚品0223七.（5分）求曲线=2(1+cos)的长度.∫∫∫2√√2√2解：l=2+′2d=221+cosd=4cosd=16:0002八.（5分）求微分方程(2+x2)y′+y+1=0的通解.11解：分离变量得dy=−dx.y+12+x21x积分得通解ln

18、y+1

19、=−√arctan√+C:22九.

20、（10分）求解初值问题：xy′+y=x5+x,y

21、=1.x=11解：有一阶线性微分方程:y′+y=x4+1.xC解相应的齐次方程有y=.x11C用常数变异法有通解y=x5+x+.62x1又由初值条件y(1)=1得C=.3111所以y=x5+x+.623x学策诚品4