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1、实验六利用Mathematica求函数极值实验目的：综合利用求导，解方程及确定极值的相关知识求一元及多元函数极值。预备知识：(一)极值概念及确定极值的必要条件、充分条件(二)最值与极值的关系，最值的确定(三)Mathematica中求函数极值相关命令边学边做：(一)用命令FindMinimum求极小值：FindMinimum[f[x],{x,x0}]FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}]（1）先作图，观察之后求函数在[-3，3]内的极值（2）作图之后求函数的极值(二）用求驻点的方法求函数极值(1)求函数的极值(2)求函数的最值（三
2、）Solve，Which，Print，Plot综合应用求极值（1）求函数的极值、拐点，描绘该函数图像（2）设函数在两点处都取得极值，试确定的值，并问这时在处是取得极大值还是极小值？学生实验：一、基础部分1．求函数在[5，20]上的极值2．求函数的单调区间。3.求函数的极值点与极值.二、应用部分(1)当a为何值时,在处有极值,求此极值,并说明是极大值还是极小值.(2)若函数在x=-1处有极大值为8,在x=2处有极小值为-19,求a,b,c,d.(3)把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁,问矩形截面高h与宽b如何选择时,才能使梁的抗弯截面系数达到最大?(4)求
3、表面积为a2且体积最大的长方体体积.实验六内容详解：一、利用命令FindMinimum求极小值1、命令格式一元函数：FindMinimum[f[x],{x,x0}]功能：以为初始条件，求函数的极小值。多元函数：FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}]功能：以，为初始条件，求函数的极小值。2、边学边做（1）求函数在[-3，3]内的极值解自定义函数f[x_]:=x^4-2*x^2;作函数图像Plot[f[x],{x,-3,3},AxesLabel->{x,y}]因而可确定函数在[-3，3]内有两个极小值，相应选择初始值求得函数在不同区间
4、内的极小值。FindMinimum[f[x],{x,-2}]输出结果为-1，x->-1FindMinimum[f[x],{x,0.5}]输出结果为1，x->1本题还有一极大值，Mathematics中没有提供求函数极大值的命令，因而需作转化FindMinimum[-f[x],{x,-0.5}]输出结果为0，x->0（2）求函数的极值解作函数图形（作法见第二节）FindMinimum[x^2+y^2-x*y-3x-2y+3,{x,0.5},{y,0.5}]输出结果为{-3.33333,{x->2.66667,y->2.33333}}二、用求驻点的方法求
5、函数极值边学边做(1)求函数的极值解自定义函数f[x_]:=4*(x+1)/(x^2+1);Df=f’[x];Df2[x_]:=f’’[x];解方程求驻点NSolve[Df==0,x]输出结果为x1=-2.41421，x2=0.414214用二阶导数判别极值f’’[-2.41421]=0.242643>0，函数有极小值f[-2.41421]输出结果-0.828427f’’[0.414214]=-8.24263<0，函数有极大值f[0.414214]输出结果4.82843可作图验证(2)求函数的最值解自定义函数f[x_,y_]:=x^3-y^3+3*x^2
6、+3*y^2-9*x;求驻点Solve[{D[f[x,y],x]==0,D[f[x,y],y]==0}]输出结果为{{x->-3,y->0},{x->-3,y->2},{x->1,y->0},{x->1,y->2}}比较各点函数值f[x,y]/.%输出结果为{27，31，-5，-1}可求得最值为31三．Solve，Which，Print，Plot综合应用求极值边学边做1．求函数的极值、拐点，描绘该函数图像解自定义函数f[x_]:=x^3-3*x^2-9*x+5;画图可观察函数的主要性态Plot[f[x],{x,-5,5}]解方程求驻点并赋值m=Solve
7、[f’[x]==0,x];找驻点结果为{x->-1},{x->3}取得m中的数值x1=x/.m[[1]];x2=x/.m[[2]];计算二阶导数值以判别能否取得极值p1=f’’[x1];p2=f’’[x2];判别并输出结果Which[p1==0,Print[失效]，p1>0，Print[“f[-1]”极小值]，p1<0，Print[“f[-1]”极大值]]找二阶导数为零的点并赋值n=Solve[f’’[x]==0,x];{x->1}取得n中的数值y1=x/.n[1]计算x=1近旁两点二阶导数值以判别能否成为拐点q=f’’[y1-0.1]*f’’[y1+0
8、.1];判别并输出结果Which[q>0，Print
